【CQOI2017】小Q的表格

稍加推導就會發現\(f(a,b)=a\cdot b\cdot h(gcd(a,b))\)。

初始時\(h(n)=1\)。

詢問前\(k\)行\(k\)列時我們就反演：
\[ \begin{align} \displaystyle ans&=\sum_{g=1}h(g)\cdot g^2\sum_{a=1}^{\lfloor\frac{k}{g}\rfloor} \sum_{b=1}^{\lfloor\frac{k}{g}\rfloor}a\cdot b\sum_{d|a,d|b}\mu(d)\&=\sum_{g=1}h(g)\cdot g^2\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{k}{g}\rfloor}d^2\cdot \mu(d)\cdot sum^2(\lfloor\frac{k}{gd}\rfloor) \end{align} \]

我們設

\[ \displaystyle q(n)=\sum_{d=1}^n d^2\cdot \mu(d)\cdot sum^2(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]
我們可以在\(O(NlogN)\)的時間內求出所有的\(q(i)\)。

考慮\(q(n)\)與\(q(n-1)\)的區別：只有在\(d|n\)的時候才會產生。

所以：
\[ \displaystyle q(n)=q(n-1)+\sum_{d|n}d^2\mu(d)(sum^2(\frac{n}{d})-sum^2(\frac{n}{d}-1)) \]

於是我們就可以數論分塊處理詢問。

但是如果我們用樹狀數組處理修改，那麽我們的復雜度就多了一個\(log\)，無法接受。所以我們犧牲修改時間來平衡詢問時間。

使用分塊來維護\(h(g)\cdot g^2\)的前綴和。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 4000005

using namespace std;
inline ll Get() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
ll a,b;
ll x,k;
const ll mod=1e9+7;
int gcd(int a,int b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
bool vis[N];
int p[N],u[N];
ll g[N],f[N],sum[N];
ll inv[N],bel[N];
const int blk=2e3+7;
int add[blk];

void pre(int n) {
    g[1]=u[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            g[i]=mod+1-inv[i];
            p[++p[0]]=i;
        }
        for(int j=1;j<=p[0]&&1ll*i*p[j]<=n;j++) {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                g[i*p[j]]=g[i];
                break;
            }
            g[i*p[j]]=1ll*(mod+1-inv[p[j]])*g[i]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        g[i]=(1ll*g[i]*i%mod*i%mod*i%mod+g[i-1])%mod;
    }
}

void Add(int v,int x) {
    int b=bel[v];
    for(int i=(b-1)*blk+1;bel[i]==b;i++) (f[i]+=add[b])%=mod;
    add[b]=0;
    for(int i=v;bel[i]==b;i++) (f[i]+=x)%=mod;
    for(int i=b+1;i<=bel[n];i++) (add[i]+=x)%=mod;
}

ll query(int v) {return (f[v]+add[bel[v]])%mod;}

int solve(int n) {
    ll ans=0,last=0;
    for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
        last=n/(n/i);
        (ans+=1ll*(query(last)-query(i-1)+mod)*g[n/i])%=mod;
    }
    return ans;
}

int main() {
    m=Get(),n=Get();
    inv[1]=inv[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    pre(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) bel[i]=(i-1)/blk+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1ll*i*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i]+f[i-1])%mod;
    while(m--) {
        a=Get(),b=Get(),x=Get(),k=Get();
        int g=gcd(a,b);
        ll now=x%mod*inv[a]%mod*inv[b]%mod*g%mod*g%mod;
        now=(now-(query(g)-query(g-1))+mod)%mod;
        Add(g,now);
        int ans=0;
        cout<<solve(k)<<"\n";
    }
    return 0;
}
 

【CQOI2017】小Q的表格