建一個分層圖,第\(i\)層的第\(j\)個節點表示走到\(j\)號節點,用了\(i\)個優惠的最短路,我們設為\([i,j]\)。

然後對於原圖的一條權值為\(w\)的雙向邊\((u,v)\),對於任意的\(0\le x\le k\),在\([x,u]\)和\([x,v]\)之間建立權值為\(w\)的雙向邊,對於任意的\(0\le x<k\),在\([x,u]\)和\([x+1,v]\)之間以及\([x,v]\)和\([x+1,u]\)之間分別建立單向邊。

從\([0,s]\)開始跑單源最短路,答案為\(0\le x\le k\)的\([x,t]\)到\([0,s]\)的最短路的最小值。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define val(u,id) (n*(u)+id)
using namespace std;
struct node{
    int d,mn;
    bool operator<(node y)const{
        return mn==y.mn?d>y.d:mn>y.mn;
    }
}td;
struct edge{
    int t,v,nxt;
}e[2200010];
const int INF=1e9;
int n,m,k,s,t,u,v,w,be[110010],cnt,mn[110010],vis[110010],ans=INF;
priority_queue<node>pq;
void add(int x,int y,int val){
    e[++cnt].t=y,e[cnt].v=val,e[cnt].nxt=be[x],be[x]=cnt;
}
void Dijkstra(){
    for(int i=0;i<=k;++i)for(int j=0;j<n;++j)mn[val(i,j)]=INF;
    mn[s]=0,pq.push((node){s,0});
    while(!pq.empty()){
        while(!pq.empty()&&vis[(td=pq.top(),td.d)])pq.pop();
        if(pq.empty())return;
        pq.pop(),vis[td.d]=1;
        for(int i=be[td.d];i;i=e[i].nxt)(mn[e[i].t]>mn[td.d]+e[i].v)?mn[e[i].t]=mn[td.d]+e[i].v,pq.push((node){e[i].t,mn[e[i].t]}),0:0;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        for(int j=0;j<k;++j)add(val(j,u),val(j,v),w),add(val(j,v),val(j,u),w),add(val(j,u),val(j+1,v),0),add(val(j,v),val(j+1,u),0);
        add(val(k,u),val(k,v),w),add(val(k,v),val(k,u),w);
    }
    Dijkstra();
    for(int i=0;i<=k;++i)ans=min(ans,mn[val(i,t)]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
 

[2019.2.21]BZOJ2763 [JLOI2011]飛行路線