『生日蛋糕 搜索剪枝』
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<正文>
Description
7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU為此要制作一個體積為N×π的M層生日蛋糕，每層都是一個圓柱體。
設從下往上數第i(1 <= i <= M)層蛋糕是半徑為Ri, 高度為Hi的圓柱。當i < M時，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由於要在蛋糕上抹奶油，為盡可能節約經費，我們希望蛋糕外表面（最下一層的下底面除外）的面積Q最小。
令Q = S×π請編程對給出的N和M，找出蛋糕的制作方案（適當的Ri和Hi的值），使S最小。（除Q外，以上所有數據皆為正整數）
Input Format
每組數據兩行，第一行為N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的體積為N×πN×π；第二行為M(M <= 20)，表示蛋糕的層數為M。
Output Format
僅一行，是一個正整數S（若無解則S=0）。
Sample Input
100
2Sample Output
68解析
預備知識：圓柱體體積公式\(v=\pi R^2H\)，圓柱體側面積公式\(s'=2\pi RH\)，圓柱體底面積公式\(s=\pi R^2\)
輸出和輸入均不考慮\(\pi\)，所以直接無視所有公式中的\(\pi\)即可。
直接考慮一個搜索算法，狀態為\((dep,s,v)\)，代表當前搜索到第\(dep\)層(從上往下數)，表面積為\(s\)，體積為\(v\)，並且記錄了第\(m\)至第\(dep-1\)層的高度和半徑為\(h\)，\(r\)
然後考慮如下的剪枝:
- 上下界剪枝：枚舉\(R \in [dep,min(\lfloor \sqrt{n-v} \rfloor,r_{dep+1}-1)],H\in [dep,min(\lfloor \frac{n-v}{R^2} \rfloor,h_{dep+1}-1)]\)
由於蛋糕\(dep\)層以上還有\(m-dep\)層，高度和半徑大小的要求都是遞減的，所以枚舉的左邊界很容易得到。
對於半徑，其枚舉右邊界顯然不能大於等於\(r_{dep+1}\)，不然不滿足遞減性，假設第\(dep\)層就是最後一層，那麽由圓柱體體積公式\(\pi R^2H=\pi (n-v)\)
對於高度，同樣右邊界不能大於等於\(h_{dep+1}\)，不然不滿足遞減性，由於已知\(R\)，那麽我們也可以用體積公式得到高度\(H\)顯然需要滿足\(H \leq \frac{n-v}{R^2}\)，這就是高度的枚舉範圍。
搜索順序剪枝：對於以上推導出的枚舉範圍，從大到小枚舉。
可行性及最優性剪枝：預處理從上向下\(i\)層的最小側面積及體積，即第\(i\)層半徑高度都取\(i\)，最小體積\(v_i=i^3\)，最小表面積\(s_i=2*i^2\)。如果體積\(v\)加上剩下\(dep+1\)到\(1\)的最小體積和大於\(n\)時，可以剪枝。如果表面積\(s\)加上剩下\(dep+1\)到\(1\)的最小表面積和大於已經搜到的答案時，可以剪枝。
最優性剪枝：當\(\frac{2(n-v)}{r_{dep}}+s\)大於等於已經搜到的答案時，可以剪枝。
由圓柱體表面積與體積公式可以得到第\(1\)到第\(dep-1\)層的體積之和為
\[
\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i^2) =n-v
\]
側面積之和為
\[
2\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i)
\]
那麽可以進行如下推導：
\[
2\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i)
\\=\frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i)*r_{dep}
\\ = \frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i*r_{dep})
\\ \geq \frac{2}{r_{dep}}\sum_{i=1}^{dep-1}(h_i*r_i^2)
\\ =\frac{2(n-v)}{r_{dep}}=x
\]
即第\(1\)到第\(dep-1\)層的表面積之和大於等於\(x\)，所以如果\(s+x\)大於等於已經搜到的答案時，也可以剪枝。
很多時候，\(dfs\)的剪枝是可以通過如上的縮放方式推導出來的，這就要求我們需要發現題目隱藏的性質，合理利用已知條件進行優化。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mset(name,val) memset(name,val,sizeof name)
#define filein(str) freopen(str".in","r",stdin)
#define fileout(str) freopen(str".out","w",stdout)
const int N=10000+20,M=20+20,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,h[M],r[M],Minsumv[M],Minsums[M],ans=INF;
inline void input(void)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
}
inline void init(void)
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
Minsumv[i]=Minsumv[i-1]+(i*i*i);
Minsums[i]=Minsums[i-1]+(2*i*i);
}
h[m+1]=r[m+1]=INF;
}
inline void dfs(int dep,int s,int v)
{
if(!dep)
{
if(v==n)ans=min(ans,s);
return;
}
if(2*(n-v)/(r[dep+1])+s>ans)return;
if(v+Minsumv[dep]>n)return;
if(s+Minsums[dep]>ans)return;
for(int R=min((int)sqrt((n-v)*1.0),r[dep+1]-1);R>=dep;R--)
{
for(int H=min((n-v)/(R*R),h[dep+1]-1);H>=dep;H--)
{
r[dep]=R;h[dep]=H;
if(dep==m)
dfs(dep-1,R*R+2*R*H,R*R*H);
else dfs(dep-1,s+2*R*H,v+R*R*H);
}
}
}
int main(void)
{
input();
init();
dfs(m,0,0);
printf("%d\n",ans==INF?0:ans);
return 0;
} <後記>
『生日蛋糕 搜索剪枝』