中國剩余定理(孫子定理)
中國剩余定理,也叫孫子定理,是數論中的又一個重要定理,那麽它是幹什麽用的呢?簡單來說,這是一個用來求一元線性同余方程組的定理。叫做孫子定理的原因就是該定理最早可見於南北朝時期的著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數”問題,原文如下:
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?
翻譯一下,就是說,一個數除以三余二,除以五余三,除以七余二,求這個整數。
接下來,我們把這一道題作為例題,探究一下如何利用孫子定理搞定同余方程組
例1:
求解一元線性同余方程組:
x ≡ 2 ( mod 3 )
x ≡ 3 ( mod 5 )
x ≡ 2 ( mod 7 )
解:
做題依據:
當p1 , p2 , ……互質的時候,有 x ≡ (a1 q1 q1-1 + a2 q2 q2-1 +……)mod P
其中P = p1 p2……, qi = p / pi ,qi-1 為 qi 在模pi 意義下的逆元
對於這道題,x ≡ (2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1+ 2 * 15 * 1)mod 105 = 23
例2:
求解一元線性同余方程組:
x ≡ 3(mod 12)
x ≡ 2(mod 18)
解:
做題依據
當p不互質時,有x ≡ a1 ( mod p1 ) = = > x = a1 + p1 b1, x ≡ a2 ( mod p2 ) = = > x = a2 + p2 b2
所以p1 b1 - p2 b2 = a2 - a1
用擴展歐幾裏得得解
因此不斷合並方程即可
代碼實現參考拓展歐幾裏得算法https://www.cnblogs.com/juruohqk/p/10544298.html
2019-04-09 11:39:10
中國剩余定理(孫子定理)