同余 模算術 中國剩余定理
相關知識點：
1、a≡b(modc)。a,b關於模c同余 ,即a modc=b mod c 。 等價於a%c=b
2、假設a,b互質(a,b)=1,則可得a關於模b的逆 ax≡1(modb)
3、關於余數的定理：
定理1 ：假設被除數加上（或減去）除數的整數倍，除數不變，則余數不變。
（余數和被除數關於除數同余）
4.中國剩余定理：
設m1,m2,...,mk是兩兩互素的正整數，對於隨意的正整數a1,a2,a3,..,ak證明：令Mi=M/mi ,則Mi和mi互質，則(Mi,mi)=1,即 MiPi≡1(mod mi), ——模逆
等價於MiPi %mi=1,要使 MiPi%mi=ai。僅僅要將被除數乘以a1（
算法模板：
int m[maxn],a[maxn];
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b) d=a,x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
intChina(int r)
{
int M,d,x0,y0,ans=0;
for(int i=1;i<=r;i++){
M*=m[i];
}
for(int i=1;i<=r;i++){
int Mi=M/m[i];
exgcd(Mi,m[i],d,x0,y0);
ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
}
if(ans<0) ans+=M;
return ans;
}———————————————————————切割線——————————————————————————— 下面來自轉載。有助於理解中國剩余定理的證明（拿著學長的書慢慢啃數論吧。。
。）
公元前後的《孫子算經》中有“物不知數”問題：“今有物不知其數，三三數之余二 。五五數之余三 ，七七數之余二，問物幾何？”答為“23”。 --------這個就是傳說中的“中國剩余定理”。
事實上題目的意思就是，x%3=2,x%5=3,x%7=2;問x最小是多少？
解法：
1.首先找到3，5。7，的三個“關鍵數字”，即[5,7]=35;[3,7]=21;[3,5]=15
2.讓35a%3=1，a=2; 讓21b%5=1,b=1; 讓15c%7=1，c=1（我們這裏要讓余數為1。是為了要求余數2的話。僅僅要乘以2就能夠，要求余數為3的話。僅僅要乘以3就能夠了。……）
3.所以 然後。35*2*2=140 21*1*3=63 15*1*2=30
4. Then 140+63+30=233 ,由於233>3*5*7 ， 所以233- 105*2=23
上幾個百度上的例題（我們會發現給出的除數都是亮亮互質的，顯然……）：
例1：一個數被3除余1，被4除余2，被5除余4。這個數最小是幾？
題中3、4、5三個數兩兩互質。則〔4，5〕=20；〔3。5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4。5〕=60。為了使20被3除余1，用20×2=40。使15被4除余1。用15×3=45。使12被5除余1，用12×3=36。然後，40×1+45×2+36×4=274，由於，274>60。所以，274－60×4=34，就是所求的數。
例2：一個數被3除余2。被7除余4。被8除余5。這個數最小是幾？
題中3、7、8三個數兩兩互質。則〔7。8〕=56；〔3，8〕=24。〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。為了使56被3除余1，用56×2=112。使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105。然後，112×2+120×4+105×5=1229，由於，1229>168。所以，1229－168×7=53。就是所求的數。
例3：一個數除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數。
題中5、8、11三個數兩兩互質。則〔8。11〕=88；〔5，11〕=55。〔5。8〕=40；〔5，8。11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1。用55×7=385。使40被11除余1。用40×8=320。
然後。176×4+385×3+320×2=2499，由於，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數。
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