題目大意：給定一個 N 個點，M 條邊的有向圖，現有 Q 個詢問，每次詢問 X 到 Y 的最小密度路徑是多少。最小密度路徑的定義是路徑長度除以路徑邊數。

題解：利用矩陣乘法，可以預處理出從 X 到 Y 恰好經過 K 條邊的最短路是多少。對於每次詢問，直接處理處理即可，時間復雜度為 \(O(n^4)\)。

註意：恰好經過 K 條邊的最短路不能將 G[i][i] 初始化成 0，因為邊數有實際意義，若這樣初始化意味著有自環出現。至少經過 K 條邊的同理，也不能這樣初始化。

代碼如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,q;
struct mat{
    int d[maxn][maxn];
    mat(){memset(d,0x3f,sizeof(d));}
    int *operator[](int i){return d[i];}
    friend mat operator*(mat &x,mat &y){
        mat z;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    z[i][j]=min(z[i][j],x[i][k]+y[k][j]);
        return z;
    }
}d[maxn];

void read_and_parse(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        d[1][x][y]=min(d[1][x][y],z);
    }
}
void solve(){
    for(int i=2;i<=n;i++)d[i]=d[i-1]*d[1];
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        bool flag=0;double ans=1e18;
        for(int i=n;i;i--){
            if(d[i][x][y]!=inf){
                flag=1;
                ans=min(ans,(double)d[i][x][y]/(double)i);
            }
        }
        if(flag)printf("%.3lf\n",ans);
        else puts("OMG!");
    }
}
int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;
}
 

【洛谷P1730】最小密度路徑