沒有施工完，先放上來。

支配樹

求出dfs序。

定義：\(y\)為\(x\)的半支配點，當且僅當存在一條\(y\rightarrow x\)的路徑，且這條路徑掐頭去尾之後都有\(dfn>dfn_x\)，且\(y\)為滿足這個條件的\(dfn\)最小的點，記為\(semi_x=y\)。

\(fa_x\)顯然滿足條件，所以有\(dfn_y\le dfn_{fa_x}\)。

定理：\(y\rightarrow x\)的路徑必然經過\(lca(x,y)\)。

感性理解一下就好了qwq

由這個定理，可以得到\(y\)必定為\(x\)的祖先。

（為了寫的方便，下文有的時候半支配點指滿足條件但不是最小的點）

如何求\(semi_x\)？

分情況討論：要麽是\(semi_x\)一步走到了\(x\)；要麽是\(semi_x\)先跳到了\(x\)的兄弟節點那裏，然後再亂跳一通跳回來；要麽是\(semi_x\)跳到了\(x\)的子樹內，然後在子樹內晃來晃去，最後跳回來。

第一種

建反圖之後亂搞即可。

第二種

設\(w\)為\(semi_x\rightarrow x\)路徑上的第一個點，那麽就會有\(semi_x=semi_w\)。

證明：\(semi_w\)顯然滿足\(x\)的條件。若\(semi_x<semi_w\)，那麽會發現\(semi_x\)滿足\(w\)的條件，於是\(semi_w\)不是\(w\)

所以\(semi_x\ge semi_w\)，所以\(semi_x=semi_w\)。

第三種

其實與第二種一模一樣qwq

\(semi_x\)有什麽用？

把非樹邊全都刪掉，加上\((semi_x,x)\)的邊，支配關系不變。

證明？感性理解一下吧qwq

然後這個圖變成了一個DAG，\(O(n\log n)\)亂搞就好了。

支配樹學習筆記