為了加深在人工智慧、深度學習領域的學習，接下來會推出數學基礎系列部落格，加深自己在這領域的基礎知識。

一、函式

1、函式的定義

函式表示量與量之間的關係如：$A=\pi r^{2}$。更普遍的是用$y=f(x)$表示，其中x表示自變數，y表示因變數。函式在x₀處取得的函式值$y_{0}=y\mid _{x=x_{0}}=f(x_{0})$。值得一提的是，符號只是一種表示，也可以用其他符號來表示，比如：$y=g(x)$、$y=\varphi (x)$、$y=\psi (x)$等。

2、常用函式形式

分段函式：$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}, &x\geqslant 0 \\ -x, & x< 0\end{matrix}\right.$

反函式：$h=\frac{1}{2}gt^{2}\rightarrow h=h(t) \rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\rightarrow t=t(h)$

顯函式：$y=x^{2}+1$

隱函式：$F(x,y)=0$，$3x+y-4=0$

3、函式特點

奇函式：相對於原點對稱的函式$f(-x)=-f(x)$，如$f(x)=x^{3}$，代入計算可得$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$。

偶函式：相當於Y軸對稱的函式$f(-x)=f(x)$，如$f(x)=x^{2}$，代入計算可得$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$。

周期函式：經過一個週期T的變化函式值仍相等$f(x+T)=f(x)$，如常見的三角函式等。

單調性：分為單調遞增函式和單調遞減函式。

二、極限

1、數列

通俗的講就是一列有序的數：$u_{1},u_{2},...,u_{n},...$，其中$u_{n}$叫做通項。對於數列$\left \{ u_{n} \right \}$，如果當n無限增大時，其通項無限接近於一個常數A，則稱該數列以A為極限或稱數列收斂於A，否則稱數列為發散。$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }u_{n}  = A$，或$u_{n}\rightarrow A(n\rightarrow \infty )$，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{1}{3^{n}}  = 0$，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}  = 1$，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }2^{n}$不存在。

2、極限

符號表示：

$x\rightarrow \infty $表示“當|x|無限增大時” ，

$x\rightarrow +\infty $表示“當x無限增大時” ，

$x\rightarrow -\infty $表示“當x無限減少時” ，

$x\rightarrow x_{0}$表示“當x從x₀的左右兩側無限接近於x₀時” ，

$x\rightarrow x_{0}^{+}$表示“當x從x₀的右側無限接近於x₀時” ，

$x\rightarrow x_{0}^{-}$表示“當x從x₀的左側無限接近於x₀時” ，

下面用幾個示例圖形象地表示極限

3、定義

函式在x₀的鄰域內有定義，有$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)=A$，或$f(x)\rightarrow A(x-x_{0})$。例如$\lim\limits_{x \rightarrow 1 }\frac{x^{2}-1}{x-1}  = \lim\limits_{x \rightarrow 1 }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$

4、左右極限

函式在左半鄰域/右半鄰域內有定義$(x_{0},x_{0}+\delta ),(x_{0}-\delta,x_{0} )$，有

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)  = A$的充要條件是$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }f(x)=A$

有以下例題，求$f(x)$的極限

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x-1 & x<0\\
0 &x=0 \\
x+1 & x>0
\end{matrix}\right.$

求解可得，當x->0時，f(x)的極限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }(x+1)=1$，$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }(x-1)=-1$。左右極限存在但不相等，所以f(x)在x->0時極限不存在。

5、極限性質

無窮小：以零為極限，如函式$\lim\limits_{x \rightarrow \infty  }\frac{1}{x}  = 0$，$\frac{1}{x} $是$x \rightarrow \infty $時的無窮小。$\lim\limits_{x \rightarrow 2  }(3x-6)  = 0$，$3x-6 $是$x \rightarrow 2 $時的無窮小。

基本性質：

1.有限個無窮小的代數和仍是無窮小。

2.有限個無窮小的積仍是無窮小。

3.有界變數與無窮小的積仍是無窮小。

4.無限個無窮小之和不一定是無窮小。

5.無窮小的商不一定是無窮小。$\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{x}{2x} =\frac{1}{2},\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{x^{2}}{2x} =0,\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{2x}{x^{2}} =\infty $

6.極限有無限小的關係：$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x) =A$的充要條件是$f(x)=A+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是$x \rightarrow x_{0} $時的無窮小。

7.無窮大：並不是一個很大的數，是相對於變換過程來說。$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x) =\infty $或$f(x)\rightarrow \infty (x\rightarrow x_{0})$。

8.無窮小和無窮大的關係：在自變數的變換的同一過程中，如果f(x)為無窮大，那麼$\frac{1}{f(x)}$為無窮小。

9.無窮小的比較：$\alpha =\alpha (x),\beta =\beta (x)$都是無窮小，$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }\alpha (x) =0,\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }\beta (x) =0$。有如下比較。

三、連續性

1、函式的連續性

設函式y=f(x)在點x₀的某鄰域內有定義，如果當自變數的改變數$\Delta x$趨近於0時，相應函式的改變數$\Delta y$也趨近於0，則稱y=f(x)在點x₀處連續。

函式的連續性，函式f(x)在點x₀處連續，需要滿足的條件：1、函式在該點有定義。2、函式在該點極限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$存在。3、極限值等於函式值f(x₀)

例題，函式$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 & x\leqslant 0\\ \frac{\sin x}{x} & x> 0\end{matrix}\right.$在x=0處的連續性？

解：判斷左右界限是否存在且先等。如下圖所示

2、函式的間斷點

函式f(x)在點x=x₀處不連續，則稱其為函式的間斷點。一共三種情況為間斷點：1、函式f(x)在點x₀處沒有定義。2、函式在該點極限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$不存在。3、滿足前兩點，但是$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)\neq f(x)$。

當x->x₀時，f(x)的左右極限存在，則稱x₀為f(x)的第一類間斷點，第一類間斷點分為跳躍間斷點和可去間斷點，否則為第二類間斷點。

跳躍間斷點：$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} }f(x)$與$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} }f(x)$均存在，但不相等。

可去間斷點：$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$存在但不等於$f(x_{0})$。

3、例題

函式$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}$的連續性？ 

四、導數

平均速度很好表示，如v=s/t，但是如何表示瞬時速度呢？

瞬時經過路程：$\Delta s=s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})$

這一小段的平均路程：$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$

當$\Delta t\rightarrow 0$時也就是瞬時速度了，$v(t_{0})=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\bar{v}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$。

導數：如果平均變化率的極限存在， $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$，則稱此極限為函式y=f(x)在點x₀處的導數f'(x₀)。$y'\mid _{x=x_{0}},\frac{dy}{dx}\mid _{x=x_{0}}$或$\frac{df(x)}{dx}\mid _{x=x_{0}}$。

下面列出常見函式的導數。

下面列出導數的運演算法則（最後一條不經常用）：

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