數學基礎系列(四)----拉格朗日乘子法、行列式、矩陣基礎

阿新 • • 發佈：2020-01-05

一、拉格朗日乘子法

1、通俗解釋

給個函式：$Z=f(x,y)$如何求出它的極值點呢？有了前面的知識，簡單來說直接求它的偏導不就OK了嗎？

那現在假如說對這個函式加上一個約束條件呢？也就說現在假如有這樣一個約束條件$2xy+2yz+2zx=S$，那該怎麼樣求出函式$Z(x,y,z)=xyz$的最大值呢？

在這樣的約束條件下，到底什麼點是我們想要的？

假如說我們現在有這樣一座山峰，這座山峰的高度是$f(x,y)$，其中有一條曲線是$g(x,y) =C$。曲線鑲嵌在山上，我們該如何找到曲線的最低點呢？

為了找到曲線上的最低點，首先就從最低的等高線（0那條）開始往上數。數到第三條，等高線終於和曲線有交點了（如上圖所示）。因為比這條等高線低的地方都不在約束範圍內，所以這肯定是這條約束曲線的最低點了。

而且約束曲線在這裡不可能和等高線相交，一定是相切。因為如果是相交的話，如下圖所示，那麼曲線一定會有一部分在B區域，但是B區域比等高線低，這是不可能的。

兩條曲線相切，意味著它們在這點的法線平行，也就是法向量只差一個任意的常數乘子(取為$-\lambda $)：$\bigtriangledown f(x,y)=-\lambda \bigtriangledown g(x,y)$，其中$\bigtriangledown$表示偏導。

我們可以把上式的右邊移到左邊，並把常數移進微分運算元然後得到：$\bigtriangledown f(x,y)+\lambda \bigtriangledown g(x,y)=0$。

把這個式子重新解釋一下，這個就是$f(x,y)+\lambda g(x,y)$無約束情況下極值點的必要條件。簡單來說，就是把帶有約束條件下的求極值轉化為無約束條件下的求極值。

2、使用方法

然後我們看下拉格朗日乘子法具體的使用方法。求解函式：$z=f(x,y)$在條件$\varphi (x,y)=0$條件下的極值。

既然求極值，那就是令其偏導等於0。

建構函式$F(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)$，其中$\lambda$為拉格朗日乘數。如此，我們就可以得到下面的這個表示式

這樣通過上面的方程組求解出來的（X，Y）就是極值點座標。

拉格朗日乘子法一般用於自變數多於兩個的條件下。

求解函式：$u=f(x,y,z,t) $在條件$\varphi (x,y,z,t)=0,\psi (x,y,z,t)=0$下的極值。

同理建構函式：$F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t) +\lambda _{1}\varphi (x,y,z,t)+\lambda _{2}\psi (x,y,z,t)$。其中$\lambda _{1},\lambda _{2}$均為拉格朗日乘數，同樣通過偏導為0以及約束條件求解極值點座標。

3、例題

求函式$u=x^{3}y^{2}z$在約束條件x+y+z=12下的最大值。

同理建構函式：$F(x,y,z)=x^{3}y^{2}z+\lambda (x+y+z-12)$。然後分別求偏導，得到如下表達式。

$\left\{\begin{matrix}
F_{x}'=3x^{2}y^{2}z+\lambda =0\\
F_{y}'=2x^{3}yz+\lambda =0\\
F_{z}'=x^{3}y^{2}+\lambda =0\\
x+y+z=12
\end{matrix}\right.$

求解上面的方程組可以得到唯一駐點（6，4，2），這樣的話最大值$u_{max}=6^{3}\cdot 4^{2}\cdot 2=6912$。

二、行列式

1、二階行列式

首先來看看二元線性方程組的求解：$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{matrix}\right.$

對上面這個方程組求解可得：$\begin{matrix}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}\\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}\end{matrix}$。

當$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$時方程組有唯一解：$x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},x_{2}=\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$。

根據上面的解看起來好像有些規律呀