直觀理解為什麼分類問題用交叉熵損失而不用均方誤差損失?
目錄
- 交叉熵損失與均方誤差損失
- 損失函式角度
- softmax反向傳播角度
- 參考
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交叉熵損失與均方誤差損失
常規分類網路最後的softmax層如下圖所示，傳統機器學習方法以此類比，
一共有\(K\)類，令網路的輸出為\([\hat{y}_1,\dots, \hat{y}_K]\)，對應每個類別的概率，令label為 \([y_1, \dots, y_K]\)。對某個屬於\(p\)類的樣本，其label中\(y_p=1\)，\(y_1, \dots, y_{p-1}, y_{p+1}, \dots, y_K\)均為0。
對這個樣本，交叉熵（cross entropy）損失為
\[
\begin{aligned}L &= - (y_1 \log \hat{y}_1 + \dots + y_K \log \hat{y}_K) \\&= -y_p \log \hat{y}_p \\ &= - \log \hat{y}_p\end{aligned}
\]
均方誤差損失（mean squared error，MSE）為
\[
\begin{aligned}L &= (y_1 - \hat{y}_1)^2 + \dots + (y_K - \hat{y}_K)^2 \\&= (1 - \hat{y}_p)^2 + (\hat{y}_1^2 + \dots + \hat{y}_{p-1}^2 + \hat{y}_{p+1}^2 + \dots + \hat{y}_K^2)\end{aligned}
\]
\[ \ell = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L_i \]
對比交叉熵損失與均方誤差損失，只看單個樣本的損失即可，下面從兩個角度進行分析。
損失函式角度
損失函式是網路學習的指揮棒，它引導著網路學習的方向——能讓損失函式變小的引數就是好引數。
所以，損失函式的選擇和設計要能表達你希望模型具有的性質與傾向。
對比交叉熵和均方誤差損失，可以發現，兩者均在\(\hat{y} = y = 1\)時取得最小值0，但在實踐中\(\hat{y}_p\)只會趨近於1而不是恰好等於1，在\(\hat{y}_p < 1\)的情況下，
- 交叉熵只與label類別有關，\(\hat{y}_p\)越趨近於1越好
- 均方誤差不僅與\(\hat{y}_p\)有關，還與其他項有關，它希望\(\hat{y}_1, \dots, \hat{y}_{p-1}, \hat{y}_{p+1}, \dots, \hat{y}_K\)越平均越好，即在\(\frac{1-\hat{y}_p}{K-1}\)時取得最小值
分類問題中，對於類別之間的相關性，我們缺乏先驗。
雖然我們知道，與“狗”相比，“貓”和“老虎”之間的相似度更高，但是這種關係在樣本標記之初是難以量化的，所以label都是one hot。
在這個前提下，均方誤差損失可能會給出錯誤的指示，比如貓、老虎、狗的3分類問題，label為\([1, 0, 0]\)，在均方誤差看來，預測為\([0.8, 0.1, 0.1]\)要比\([0.8, 0.15, 0.05]\)要好，即認為平均總比有傾向性要好，但這有悖我們的常識。
而對交叉熵損失，既然類別間複雜的相似度矩陣是難以量化的，索性只能關注樣本所屬的類別，只要\(\hat{y}_p\)越接近於1就好，這顯示是更合理的。
softmax反向傳播角度
softmax的作用是將\((-\infty, +\infty)\)的幾個實數對映到\((0,1)\)之間且之和為1，以獲得某種概率解釋。
令softmax函式的輸入為\(z\)，輸出為\(\hat{y}\)，對結點\(p\)有，
\[
\hat{y}_p = \frac{e^{z_p}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}}
\]
\(\hat{y}_p\)不僅與\(z_p\)有關，還與\(\{z_k | k\neq p\}\)有關，這裡僅看$z_p $，則有
\[
\frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p(1-\hat{y}_p)
\]
\(\hat{y}_p\)為正確分類的概率，為0時表示分類完全錯誤，越接近於1表示越正確。根據鏈式法則，按理來講，對與\(z_p\)相連的權重，損失函式的偏導會含有\(\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)\)這一因子項，\(\hat{y}_p = 0\)時分類錯誤，但偏導為0，權重不會更新，這顯然不對——分類越錯誤越需要對權重進行更新。
對交叉熵損失，
\[
\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -\frac{1}{\hat{y}_p}
\]
則有
\[
\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p - 1
\]
恰好將\(\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)\)中的\(\hat{y}_p\)消掉，避免了上述情形的發生，且\(\hat{y}_p\)越接近於1，偏導越接近於0，即分類越正確越不需要更新權重，這與我們的期望相符。
而對均方誤差損失，
\[
\frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -2(1-\hat{y}_p)=2(\hat{y}_p - 1)
\]
則有，
\[
\frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = -2 \hat{y}_p (1 - \hat{y}_p)^2
\]
顯然，仍會發生上面所說的情況——\(\hat{y}_p = 0\)，分類錯誤，但不更新權重。
綜上，對分類問題而言，無論從損失函式角度還是softmax反向傳播角度，交叉熵都比均方誤差要好。
參考
- Loss Functions
- Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training