今天這篇是機器學習專題的第24篇文章，我們來聊聊迴歸樹模型。

所謂的迴歸樹模型其實就是用樹形模型來解決迴歸問題，樹模型當中最經典的自然還是決策樹模型，它也是幾乎所有樹模型的基礎。雖然基本結構都是使用決策樹，但是根據預測方法的不同也可以分為兩種。第一種，樹上的葉子節點就對應一個預測值和分類樹對應，這一種方法稱為迴歸樹。第二種，樹上的葉子節點對應一個線性模型，最後的結果由線性模型給出。這一種方法稱為模型樹。

今天我們先來看看其中的迴歸樹。

迴歸樹模型

迴歸樹模型的核心演算法，也就是構建決策樹的演算法，就是我們上篇文章所講的CART演算法。如果有生疏或者是遺漏的同學，可以通過下方傳送門回顧一下：

機器學習——十大資料探勘之一的決策樹CART演算法

CART演算法的核心精髓就是我們每次選擇特徵對資料進行拆分的時候，永遠對資料集進行二分。無論是離散特徵還是連續性特徵，一視同仁。CART還有一個特點是使用GINI指數而不是資訊增益或者是資訊增益比來選擇拆分的特徵，但是在迴歸問題當中用不到這個。因為迴歸問題的損失函式是均方差，而不是交叉熵，很難用熵來衡量連續值的準確度。

在分類樹當中，我們一個葉子節點代表一個類別的預測值，這個類別的值是落到這個葉子節點當中訓練樣本的類別的眾數，也就是出現頻率最高的類別。在迴歸樹當中，葉子節點對應的自然就是一個連續值。這個連續值是落到這個節點的訓練樣本的均值，它的誤差就是這些樣本的均方差。

另外，之前我們在選擇特徵的劃分閾值的時候，對閾值的選擇進行了優化，只選擇了那些會引起預測類別變化的閾值。但是在迴歸問題當中，由於預測值是一個浮點數，所以這個優化也不存在了。整體上來說，其實迴歸樹的實現難度比分類樹是更低的。

實戰

我們首先來載入資料，我們這次使用的是scikit-learn庫當中經典的波士頓房價預測的資料。關於房價預測，kaggle當中也有一個類似的比賽，叫做：house-prices-advanced-regression-techniques。不過給出的特徵更多，並且存在缺失等情況，需要我們進行大量的特徵工程。感興趣的同學可以自行研究一下。

首先，我們來獲取資料，由於sklearn庫當中已經有資料了，我們可以直接呼叫api獲取，非常簡單：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()

X, y = boston.data, boston.target

我們輸出前幾條資料檢視一下：

這個資料質量很高，sklearn庫已經替我們做完了資料篩選與特徵工程，直接拿來用就可以了。為了方便我們傳遞資料，我們將X和y合併在一起。由於y是一維的陣列形式是不能和二維的X合併的，所以我們需要先對y進行reshape之後再進行合併。

y = y.reshape(-1, 1)
X = np.hstack((X, y))

hstack函式可以將兩個np的array橫向拼接，與之對應的是vstack，是將兩個array縱向拼接，這個也是常規操作。合併之後，y作為新的一列新增在了X的後面。資料搞定了，接下來就要輪到實現模型了。

在實現決策樹的主體部分之前，我們先來實現兩個輔助函式。第一個輔助函式是計算一批樣本的方差和，第二個輔助函式是獲取樣本的均值，也就是子節點的預測值。

def node_mean(X):
    return np.mean(X[:, -1])


def node_variance(X):
    return np.var(X[:, -1]) * X.shape[0]

這個搞定了之後，我們繼續實現根據閾值拆分資料的函式。這個也可以複用之前的程式碼：

from collections import defaultdict
def split_dataset(X, idx, thred):
    split_data = defaultdict(list)
    for x in X:
        split_data[x[idx] < thred].append(x)
    return list(split_data.values()), list(split_data.keys())

接下來是兩個很重要的函式，分別是get_thresholds和split_variance。顧名思義，第一個函式用來獲取閾值，前面說了由於我們做的是迴歸模型，所以理論上來說特徵的每一個取值都可以作為切分的依據。但是也不排除可能會存在多條資料的特徵值相同的情況，所以我們對它進行去重。第二個函式是根據閾值對資料進行拆分，返回拆分之後的方差和。

def get_thresholds(X, i):
    return set(X[:, i].tolist())

# 每次迭代方差優化的底線
MINIMUM_IMPROVE = 2.0
# 每個葉子節點最少樣本數
MINIMUM_SAMPLES = 10

def split_variance(dataset, idx, threshold):
    left, right = [], []
    n = dataset.shape[0]
    for data in dataset:
        if data[idx] < threshold:
            left.append(data)
        else:
            right.append(data)
    left, right = np.array(left), np.array(right)
    # 預剪枝
    # 如果拆分結果有一邊過少，則返回None，防止過擬合
    if len(left) < MINIMUM_SAMPLES or len(right) < MINIMUM_SAMPLES:
        return None
    # 拆分之後的方差和等於左子樹的方差和加上右子樹的方差和
    # 因為是方差和而不是均方差，所以可以累加
    return node_variance(left) + node_variance(right)

這裡我們用到了MINIMUM_SAMPLES這個引數，它是用來預剪枝用的。由於我們是迴歸模型，如果不對決策樹的生長加以限制，那麼很有可能得到的決策樹的葉子節點和訓練樣本的數量一樣多。這顯然就陷入了過擬合了，對於模型的效果是有害無益的。所以我們要限制每個節點的樣本數量，這個是一個引數，我們可以根據需要自行調整。

接下來，就是特徵和閾值篩選的函數了。我們需要開發一個函式來遍歷所有可以拆分的特徵和閾值，對資料進行拆分，從所有特徵當中找到最佳的拆分可能。

def choose_feature_to_split(dataset):
    n = len(dataset[0])-1
    m = len(dataset)
    # 記錄最佳方差,特徵和閾值
    var_ = node_variance(dataset)
    bestVar = float('inf')
    feature = -1
    thred = None
    for i in range(n):
        threds = get_thresholds(dataset, i)
        for t in threds:
            # 遍歷所有的閾值，計算每個閾值的variance
            v = split_variance(dataset, i, t)
            # 如果v等於None，說明拆分過擬合了，跳過
            if v is None:
                continue
            if v  < bestVar:
                bestVar, feature, thred = v, i, t
    # 如果最好的拆分效果達不到要求，那麼就不拆分，控制子樹的數量
    if var_ - bestVar < MINIMUM_IMPROVE:
        return None, None
    return feature, thred

和上面一樣，這個函式當中也用到了一個預剪枝的引數MINIMUM_IMPROVE，它衡量的是每一次生成子樹帶來的收益。當某一次生成子樹帶來的收益小於某個值的時候，說明收益很小，並不划算，所以我們就放棄這次子樹的生成。這也是預剪枝的一種。

這些都搞定了之後，就可以來建樹了。建樹的過程和之前類似，只是我們這一次的資料當中沒有特徵的name，所以我們去掉特徵名稱的相關邏輯。

def create_decision_tree(dataset):
    dataset = np.array(dataset)
    
    # 如果當前數量小於10，那麼就不再繼續劃分了
    if dataset.shape[0] < MINIMUM_SAMPLES:
        return node_mean(dataset)
    
    # 記錄最佳拆分的特徵和閾值
    fidx, th = choose_feature_to_split(dataset)
    if fidx is None:
        return th
    
    node = {}
    node['feature'] = fidx
    node['threshold'] = th
    
    # 遞迴建樹
    split_data, vals = split_dataset(dataset, fidx, th)
    for data, val in zip(split_data, vals):
        node[val] = create_decision_tree(data)
    return node

我們來完整測試一下建樹，首先我們需要對原始資料進行拆分。將原始資料拆分成訓練資料和測試資料，由於我們的場景比較簡單，就不設定驗證資料了。

拆分資料不用我們自己實現，sklearn當中提供了相應的工具，我們直接呼叫即可：

from sklearn.model_selection import train_test_split

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=23)

我們一般用到的引數就兩個，一個是test_size，它可以是一個整數也可以是一個浮點數。如果是整數，代表的是測試集的樣本數量。如果是一個0-1.0的浮點數，則代表測試集的佔比。random_state是生成隨機數的時候用到的隨機種子。

我們輸出一下生成的樹，由於資料量比較大，可以看到一顆龐大的樹結構。建樹的部分實現了之後，最後剩下的就是預測的部分了。

預測部分的程式碼和之前分類樹相差不大，整體的邏輯完全一樣，只是去掉了feature_names的相關邏輯。

def classify(node, data):
    key = node['feature']
    pred = None
    thred = node['threshold']

    if isinstance(node[data[key] < thred], dict):
        pred = classify(node[data[key] < thred], data)
    else:
        pred = node[data[key] < thred]
            
    # 放置pred為空，挑選一個葉子節點作為替補
    if pred is None:
        for key in node:
            if not isinstance(node[key], dict):
                pred = node[key]
                break
    return pred

由於這個函式一次只能接受一條資料，如果我們想要批量預測的話還不行，所以最好的話再實現一個批量預測的predict函式比較好。

def predict(node, X):
    y_pred = []
    for x in X:
        y = classify(node, x)
        y_pred.append(y)
    return np.array(y_pred)

後剪枝

後剪枝的英文原文是post-prune，但是翻譯成事後剪枝也有點奇怪。anyway，我們就用後剪枝這個詞好了。

在迴歸樹當中，我們利用的思想非常樸素，在建樹的時候建立一棵儘量複雜龐大的樹。然後在通過測試集對這棵樹進行修剪，修剪的邏輯也非常簡單，我們判斷一棵子樹存在分叉和沒有分叉單獨成為葉子節點時的誤差，如果修剪之後誤差更小，那麼我們就減去這棵子樹。

整個剪枝的過程和建樹的過程一樣，從上到下，遞迴執行。

整個邏輯很好理解，我們直接來看程式碼：

def is_dict(node):
    return isinstance(node, dict)


def prune(node, testData):
    testData = np.array(testData)
    if testData.shape[0] == 0:
        return node
 
    # 拆分資料
    split_data, _ = split_dataset(testData, node['feature'], node['threshold'])
    # 對左右子樹遞迴修剪
    if is_dict(node[0]):
        node[0] = prune(node[0], split_data[0])
    if is_dict(node[1]) and len(split_data) > 1:
        node[1] = prune(node[1], split_data[1])

    # 如果左右都是葉子節點，那麼判斷當前子樹是否需要修剪
    if len(split_data) > 1 and not is_dict(node[0]) and not is_dict(node[1]):
        # 計算修剪前的方差和
        baseError = np.sum(np.power(np.array(split_data[0])[:, -1] - node[0], 2)) + np.sum(np.power(np.array(split_data[1])[:, -1] - node[1], 2))
        # 計算修剪後的方差和
        meanVal = (node[0] + node[1]) / 2
        mergeError = np.sum(np.power(meanVal - testData[:, -1], 2))
        if mergeError < baseError:
            return meanVal
        else:
            return node
    return node

最後，我們對修剪之後的效果做一下驗證：

從圖中可以看到，修剪之前我們在測試資料上的均方差是19.65，而修剪之後降低到了19.48。從數值上來看是有效果的，只是由於我們的訓練資料比較少，同時進行了預剪枝，影響了後剪枝的效果。但是對於實際的機器學習工程來說，一個方法只要是有明確效果的，在代價可以承受的範圍內，它就是有價值的，千萬不能覺得提升不明顯，而隨便否定一個方法。

這裡計算均方差的時候用到了sklearn當中的一個庫函式mean_square_error，從名字當中我們也可以看得出來它的用途，它可以對兩個Numpy的array計算均方差。

總結

關於迴歸樹模型的相關內容到這裡就結束了，我們不僅親手實現了模型，而且還在真實的資料集上做了實驗。如果你是親手實現的模型的程式碼，相信你一定會有很多收穫。

雖然從實際運用來說我們幾乎不會使用樹模型來做迴歸任務，但是迴歸樹模型本身是非常有意義的。因為在它的基礎上我們發展出了很多效果更好的模型，比如大名鼎鼎的GBDT。因此理解迴歸樹對於我們後續進階的學習是非常重要的。在深度學習普及之前，其實大多數高效果的模型都是以樹模型為基礎的，比如隨機森林、GBDT、Adaboost等等。可以說樹模型撐起了機器學習的半個時代，這麼說相信大家應該都能理解它的重要性了吧。

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