洛谷P2365/5785 任務安排 題解 斜率優化DP
阿新 • • 發佈：2020-07-17
任務安排1（小資料）：[https://www.luogu.com.cn/problem/P2365](https://www.luogu.com.cn/problem/P2365)
任務安排2（大資料）：[https://www.luogu.com.cn/problem/P5785](https://www.luogu.com.cn/problem/P5785)
#### 題目描述
有 $N$ 個任務排成一個序列在一臺機器上等待執行，它們的順序不得改變。機器會把這 $N$ 個任務分成若干批，每一批包含連續的若干個任務。從時刻 $0$ 開始，任務被分批加工，執行第 $i$ 個任務所需的時間是 $T_i$。另外，在每批任務開始前，機器需要 $S$ 的啟動時間，故執行一批任務所需的時間是啟動時間 $S$ 加上每個任務所需時間之和。
一個任務執行後，將在機器中稍作等待，直至該批任務全部執行完畢。也就是說，同一批任務將在同一時刻完成。每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數 $C_i$。
請為機器規劃一個分組方案，使得費用最小。
#### 輸入格式
第一行是 $N$ ，第二行是 $S$。
下面 $N$ 行每行有一對數，分別為 $T_i$ 和 $C_i$，均為不大於 $100$ 的正整數，表示第 $i$ 個任務單獨完成所需的時間是 $T_i$ 機器費用係數 $C_i$。
#### 輸出格式
輸出一個整數，表示最小的總費用。
#### 樣例輸入
```
5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4
```
#### 樣例輸出
```
153
```
#### 資料規模
50%的資料保證 $1 \lt N \le 5000, 1 \le S \le 50, 1 \le T_i, C_i \le 100$ ；
100%的資料保證 $1 \le N \le 3 \times 10^5, 1 \le S,T_i,C_i \le 512$。
### 問題分析
#### 解法一：
求出 $T,C$ 的字首和 $sumT,sumC$，即
$$sumT[i] = \sum_{j=1}^{i} T_j$$
$$sumC[i] = \sum_{j=1}^{i} C_j$$
設 $F[i][j]$ 表示把前 $i$ 個任務分成 $j$ 批執行的最小費用，則第 $j$ 批任務的完成時間就是 $j \times S + sumT[i]$。
以第 $j-1$ 批和第 $j$ 批任務的分界點為DP的“決策”，（設第 $j-1$ 批的最後一個任務是 $k$，第 $j$ 批的最後一個任務是 $i$）狀態轉移方程為：
$$F[i][j] = \min_{0 \le k \ \lt i} \{ F[k][j-1] + (S \times j + sumT[i]) \times (sumC[i] - sumC[k]) \}$$
實現程式碼如下：
```c++
#include
using namespace std;
const int maxn = 5000;
int n, S, T, C, sumT[maxn], sumC[maxn], f[maxn][maxn], ans = -1;
int main() {
cin >> n >> S;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
cin >> T >> C;
sumT[i] = sumT[i-1] + T;
sumC[i] = sumC[i-1] + C;
}
memset(f, -1, sizeof(f));
for (int j = 1; j <= n; j ++) {
for (int i = j; i <= n; i ++) {
if (j == 1) {
f[i][j] = (S + sumT[i]) * sumC[i];
continue;
}
for (int k = j-1; k < i; k ++) {
assert(f[k][j-1] != -1);
int tmp = f[k][j-1] + (S * j + sumT[i]) * (sumC[i] - sumC[k]);
if (f[i][j] == -1 || f[i][j] > tmp) f[i][j] = tmp;
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
if (ans == -1 || ans > f[n][i]) ans = f[n][i];
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
```
該解法的時間複雜度是 $O(n^3)$。
#### 解法二：
本題並沒有規定需要把任務分成多少批，在上一個解法中之所以需要批數 $j$，是因為我們需要知道機器啟動了多少次（每次啟動都要 $S$ 單位時間），從而計算出 $i$ 所在的一批任務的完成時刻。
事實上，在執行一批任務時，我們不容易直接得知在此之前機器啟動過幾次。但我們知道，機器因執行這批任務而花費的啟動時間 $S$，會累加到在此之後所有任務的完成時刻上。
設 $F[i]$ 表示把前 $i$ 個任務分成若干批執行的最小費用，狀態轉移方程為：
$$F[i] = \min \{ F[j] + sumT[i] \times (sumC[i] - sumC[j]) + S \times (sumC[N] - sumC[j]) \}$$
在上式中，第 $j+1 \sim i$ 個任務在同一批內完成，$sumT[i]$ 是忽略機器的啟動時間，這批任務的完成時刻。因為這批任務的執行，機器的啟動時間 $S$ 會對第 $j+1$ 個之後的所有任務產生影響，故我們把這部分補充到費用中。
也就是說，我們沒有直接求出每批任務的完成時間，而是在一批任務“開始”對後續任務產生影響時，就先把費用累加到結果中。這是一種名為 __“費用提前計算”__ 的經典思想。
實現程式碼如下：
```c++
#include