# 概率與期望知識總結 ## 一、概率 ### 1、定義 概率，亦稱“或然率”，它是反映[隨機事件](https://baike.baidu.com/item/隨機事件/130872)出現的可能性 $(likelihood)$大小。隨機事件是指在相同條件下，可能出現也可能不出現的事件。例如，從一批有正品和次品的商品中，隨意抽取一件，“抽得的是正品”就是一個隨機事件。設對某一隨機現象進行了$n$次試驗與觀察，其中$A$事件出現了$m$次，即其出現的頻率為$m/n$。經過大量反覆試驗，常有$m/n$越來越接近於某個確定的常數（此論斷證明詳見伯努利大數定律）。該常數即為事件$A$出現的概率，常用$P (A)$ 表示。 ### 2、條件概率 事件$B$在事件$A$發生的條件下發生的概率=事件$A$和事件$B$同時發生的概率除以事件$B$發生的概率 $P(A|B) = \frac{P(A\ \bigcap B)}{P(B)}$ ### 3、全概率公式 如果事件$B1、B2、B3…Bn$ 構成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；並且$P（Bi)$大於$0$，則對任一事件$A$有 $P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)$ 公式看上去複雜，但其實思路很簡單。 例如，參加比賽，得一等獎、二等獎、三等獎和優勝獎的概率分別為$0.1、0.2、0.3$和$0.4$ 這$4$種情況下，你會被媽媽表揚的概率分別為$1.0、0.8、0.5、0.1$ 則你被媽媽表揚的總概率為$0.1 \times 1.0+0.2 \times 0.8+0.3 \times 0.5+0.4 \times 0.1=0.45$ 使用全概率公式的關鍵是“劃分樣本空間”，只有把所有可能情況不重複、不遺漏地進行分類，並算出每個分類下事件發生的概率，才能得出該事件發生的總概率。 ### 4、貝葉斯公式 由英國數學家貝葉斯 $( Thomas Bayes 1702-1761 )$ 發展，用來描述兩個條件[概率](https://baike.baidu.com/item/概率)之間的關係,比如 $P(A|B)$ 和 $P(B|A)$。 按照乘法法則，可以立刻匯出：$P(A∩B) = P(A) \times P(B|A)=P(B) \times P(A|B)$ 如上公式也可變形為：$P(A|B)=P(B|A) \times P(A)/P(B)$ 將貝葉斯公式與全概率公式合在一起，還會得到下面的式子  ## 二、期望 ### 1、定義 在[概率論](https://baike.baidu.com/item/概率論)和統計學中，數學期望$(mean)$（或[均值](https://baike.baidu.com/item/均值/5922988)，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結果的[概率](https://baike.baidu.com/item/概率/828845)乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。它反映隨機變數平均取值的大小。 ### 2、期望的線性性質 有限個隨機變數之和的數學期望等於每個隨機變數的數學期望之和 $E(aX+bY)=a \times E(X)+b \tim