1. 計量經濟學也叫數量經濟學或者叫量化經濟學，主要的過程是數據結構分析、計量模型建立和預測。因此預測這個話題在時間序列數據中相當重要。他現在仍是一個很活躍的研究領域。很多的量化投資模型最重要應用也就是預測。

2. 這裏幾種研究以回歸為進出的預測方法。

3. 假定我們的主要興趣是預測一個時間序列過程的將來值，而不一定是要估計因果性或結構型經濟模型。

4. 首先介紹一些與模型具體形式無關的基本預測原理。

　　4.1 假設我們在t 時期(當前時刻)想要預測y 變量 在t+1時期(下一個時間窗口)的結果，即y_{t +1}。

　　4.2 所用時間單位可以是一年、一個季度、一個月、一個星期或一天。令I

　　4.3 設定與預測誤差相聯系的損失(loss)，答案便是肯定的。

　　4.4 令一個函數f_t 代表在t 期對y_t+1所作的預測。稱f_t 為提前一期預測(one-step-ahead forecast)。預測誤差(forecast error)是 e_t+1 = y_t+1 - f_t，常見的誤差還可以用(e_{t +1})² 來表示。

　　4.5 誤差平方這種做法，對稱地處理正負誤差，越大的誤差得到的權重也越大

5. 在t 時期，並不知道e_t+1的值是多少，因為y_t+1是一個隨機變量，所以et+1也是個隨機變量。

6. 所以在給定I_t 的所有信息集時，自然而然的我們選擇使預測誤差平方的期望最小的值：因此這個損失函數可以表示成下面這種概率表達式：

　　E((e_t+1)² | I_t) = E[(y_t+1 - f_t)² | I_t] (解釋為：給定信息集右側實際值和預測值的平方的期望，等於給定預測值下一時刻的誤差平方的期望，也就是說使得這個條件均值最小化，越趨近於0，越好)。

7. 第一種簡單預測：指數平滑法

8. 第二種簡單預測：條件預測(conditional forecast)，已知一個模型的表達式：y_t = β₀ + β₁z_t + μ_t，那麽，E(y_t+1 | I_t) = β₀ + β₁z_t+1，不行的是我們很少知道z_t+1 時刻的其他信息。除非包含時間趨勢和季節虛擬變量。

9. 第三種簡單預測：無條件預測(unconditional forescast)，這個名詞多少有些用詞不當，因為我們的預測仍然是以I_t中的信息為條件。但是這一名詞在預測文獻中已經根深蒂固了(無非在用於與測試，被我們賦予一個特定的含義罷了)。

10. 就預測而言，除非由於某些原因使我們不得不用8中的模型，否則最好的設定的模型取決於y和z 的滯後值。這版省卻了一些步驟，不必在預測y之前還要預測右邊的變量。很容易就想到的一個模型是y_t = δ₀ + α₁y_t-1 + γ₁z_t-1 + μ_t。其中根據公式定義E(μ_t | I_t-1) = 0。若已知這些參數(估計出來)那麽在t 時期對y_t+1的預測值就是這個公式：δ₀ + α₁y_t + γ₁z_t。

11. 提前一期預測函數可以寫成：hat_? = hat_δ₀ + hat_α₁y_n + hat_γ₁z_n。

12. 舉一個時間序列的預測示例(來自伍德裏奇的計量經濟學)

　　12.1 第一個模型，簡單的AR(1)模型：

　　hat_unem_t = 1.572 + 0.732 unem_t-1

　　　　　　　　 (0.577) (0.097)

　　n(樣本數) = 48, R2 = 0.544, hat_σ = 1.049

　　12.2 第二個模型，增加通過膨脹率的一年之後，模型如下：

　　hat_unem_t = 1.304 + 0.647 unem_t-1 + 0.184 inf_t-1

　　　　　　　　 (0.577) (0.097) (0.041)

　　n(樣本數) = 48, R2 = 0.677, hat_σ = 0.833

　　12.3 所有的樣本數據都是從1948年-1996年度數據。

　　12.4 預測下年，也就是1997年度數據，需要知道1996年的數據，也就是48條樣本中的最後一條以及第二個模型滯後一年(47條)的數據，分別為：5.4 和 3.0。我們分別把這兩個值帶入到兩個模型中，就能得到下一年也就是1997年度的預測值，過程如下：

　　模型1：1.572 + 0.732 × 5.4 = 5.52

　　模型2：1.304 + 0.647 × 5.4 + 0.184 × 3.0 = 5.35

　　12.5 而美國1997年的實際值為4.9。這兩個模型都高估了數值，但是模型2相對好一些。

　　12.6 然後我們把預測區間估計出來：

13. 在實際工作中，有些專業預測員可以固定模型參數，用每一期的預測所用的模型參數保持不變來預測；還有就是新一期數據獲得後，更新模型參數，再用更新後的參數預測下一期。（第二種方法需要進行更多的運算，但增加的過做了相對來說是次要的，它可能會（雖然並不一定）更好寫，因為這些回歸系數至少在一定程度上根據新數據而進行了調整）

14. 樣本內準則和樣本外準則。

　　14.1 就預測而言，使用樣本外準則更好一些，因為預測本質上就是樣本外問題。一個模型也許在用於估計其闡述的樣本中對y擬合的比較好，但並不一定在與測試就有好的表現。一個樣本外準則的方法大致為：用樣本前一部分取估計模型中的參數，然後用樣本剩余下來的部分判斷它的預測能力。這就模擬了我們在不知道變量的將來值所需要的事情。

　　14.2 RMSE = 均方根誤，MAE = 絕對平均誤差。

　　14.3 還是以上面的為例子。去固定參數，然後累計外推7次預測值，去觀察RMSE和MAE在樣本外的表現。預測期(1997-2003:7年)。

　　　　　在模型1中：RMSE = 0.962,MAE = 0.778

　　　　 在模型2中：RMSE = 0.673,MAE = 0.628

　　14.4 顯然模型2在樣本外同樣得到了比較好的結果。

　　14.5 當然，還有一種方法。不去固定參數，然後每做一次預測估計一次參數。

15. 提前多期預測：過程也非常簡單，用預測出來的值，再代入方程，在預測多兩期的預測值，以此類推進行叠代即可。

計量經濟學_預測