試題 演算法提高 天天向上

問題描述 　　A同學的學習成績十分不穩定，於是老師對他說：“只要你連續4天成績有進步，那我就獎勵給你一朵小紅花。”可是這對於A同學太困難了。於是，老師對他放寬了要求：“只要你有4天成績是遞增的，我就獎勵你一朵小紅花。”即只要對於第i、j、k、l四天，滿足i<j<k<l並且對於成績wi<wj<wk<wl，那麼就可以得到一朵小紅花的獎勵。現讓你求出，A同學可以得到多少朵小紅花。 輸入格式 　　第一行一個整數n，表示總共有n天。第二行n個數，表示每天的成績wi。 輸出格式 　　一個數，表示總共可以得到多少朵小紅花。 樣例輸入 6
1 3 2 3 4 5 樣例輸出 6 資料規模和約定 　　對於40%的資料，n<=50；
　　對於100%的資料，n<=2000，0<=wi<=10⁹。 思路：

分析:
我們將 dp[i][j] 定義為以a[i]為起點，一直到陣列結束為止，所有遞增序列長度為j的序列的個數。
以陣列 1 3 2 3 4 5為例:
dp[3][2]表示從第二個3為起始，一直到5，遞增序列長度為2的個數。容易知道，滿足這樣的序列有2個，34 和 35。所以dp[3][2]=2;

有了上述的定義，我們就可以得出以下遞推公式

dp[i][j]= ∑dp[k][j-1] (k>i,a[k]>a[i])
現在，我們只要確定了邊界條件，就可以使用動態規劃來解決這個問題了。
容易知道 dp[n-1][1]是邊界條件，值為1。
為了讓各位讀者對動態規劃的過程有更形象的瞭解，我就以1 3 2 3 4 5 為例，列出開頭的幾個步驟:

初始: dp[5][1]=1,其餘dp[i][j]=0;
第二步 ： dp[4][1]=1; dp[4][2]=dp[5][1]=1;
第三步： dp[3][1]=1; dp[3][2]=dp[4][1]+dp[5][1]=2; dp[3][3]=dp[4][2]=1;
第四步:dp[2][1]=1; dp[2][2]=dp[5][1]+dp[4][1]+dp[3][1]=3; dp[2][3]=dp[3][2]+dp[4][2]=3; dp[2][4]=dp[3][3]=1;
第五步: dp[1][1]=0; dp[1][2]=dp[4][1]+dp[5][1]=2 （a[k]要大於a[i]）
dp[1][3]=dp[4][2]=1;
第六步: dp[0][1]=1; dp[0][2]=dp[1][1]+dp[2][1]+dp[3][1]+dp[4][1]+dp[5][1]=5; … dp[0][4]=dp[1][3]+dp[2][3]+dp[3][3] =1+3+1=5;

dp[i][4]中儲存的就是，從i開始，一直到結束，遞增序列長度為4的序列的個數。
因此，只要計算所有的dp[i][4]的和即可。 注意：要long long，否則只會通過40%的樣例 程式碼：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2001;
ll a[maxn],dp[maxn][5];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=2;j<=4;j++){
            dp[i][1] = 1;
            int k=i+1;
            while(k<=n){
                if(a[k]>a[i])
                    dp[i][j]+=dp[k][j-1];
                k++;
            }
        
        }
    }
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=dp[i][4];
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}