動態規劃（入門）

在之前貪心演算法的部分，有一部分問題使用貪心演算法無法求得最優解，但是使用動態規劃就可以求出最優解。

在現實生活中，有一類活動的過程，這個過程可以分為若干個有聯絡的過程，每一個階段都需要作出決策，從而使得整個活動達到最好的效果。各個階段的決策依賴於當前的狀態同時又影響著以後的發展，而每個階段的決策一般來說和時間有關，每一次決策會引起狀態的變化，一個決策序列就是這樣動態產生的，有動態的含義。

故動態規劃實際上就是解決多階段決策最優化的過程的方法。

舉例來說，假定從\(A\)到\(D\)需要鋪設管道，其中要經過兩級中轉站，連線上的數字表示距離，如下圖所示，應該選擇什麼路線，使得總路線最短？

按照之前學過的貪心策略，從\(A\)出發，每次選擇距離最短的路徑，直到\(D\)，得出的答案為\(A->B1->C3->D\)，總距離為\(7\)。但是實際上的最短路徑為\(A->B1->C1->D\)，長度和為\(6\)。錯誤的原因在於貪心求解的問題是子問題相互獨立，沒有聯絡的，僅僅有先後順序，合起來正好是原問題。而上面的最短路徑的各個子問題都是有關聯的，用貪心求解是錯誤的。需要使用動態規劃。接下來從兩個例項來說明動態規劃的特點。

引例、數塔

給你一個數字三角形，要求找出從第一層到最後一層的路徑，使得所經過的權值和最大。

三角形如下

7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
 

我們首先將這個大的三角形拆分為最小單位，如下

顯然，最大路徑權值和為\(7（2+5）\),如果是三層呢？

是否可以參考\(2\)層的做法，如果只考慮上面兩層，那麼最大的路徑應該是\(8\)加上\(2\)和\(7\)中大的那個路徑。

但是\(2\)和\(7\)分別都有子路徑，剛才的分析，\(2\)的子路徑中最優的為\(2+5=7\)，而\(7\)的子路徑中最優的為\(7+5 = 12\)。迴歸到這個\(3\)層的數塔中，如果中間那層已經是最優的路徑了（包含其子路徑）也就是\(7\)和\(12\)，那麼就和\(2\)層的問題相同了。

按照上面的方式推導，如果沒有數塔中從下往上每一個數字都是到達當前數字的最優路徑，那麼往上推導時，只需要考慮\(2\)

其實剛才的分析過程中，通過子問題的最優解，推匯出整個問題的最優解，並且每個子問題之間有聯絡。其實這就是最優子結構（問題的最優解包含子問題的最優解）。

具體實現可以通過陣列\(d[i][j]\)表示第\(i\)層\(j\)列這個點到最後一行的最優解，顯然根據上面的分析，我們的子問題是重疊的。可以有如下遞推式

\(d[i] [j] = a[i, j] + max { d[i+1] [j], d[i+1] [j+1] }\)

每一層的取值，只和下一層有關，只需要考慮這一層是從\(d[i+1] [j]\)還是\(d[i+1] [j+1]\)走過來的即可，不需要關心\(d[i+1] [j+1]\)和\(d[i+1] [j]\)是怎麼得到的。這就是無後效性。

程式設計可以從底部向上推導，也可以從上往下推導。或者採用記憶化搜尋等方式。

參考程式

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 1005
using namespace std;

int a[N][N];

int main () {
	ios::sync_with_stdio(0);
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = 1; j <= i; j++) 
			cin >> a[i][j];
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 
		for (int j = 1; j <= i; j++) 
			a[i][j] += max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]);
	cout << a[1][1];
	return 0;
}

小結

動態規劃的一些基本概念

• 階段：根據時空順序對問題求解劃分階段
• 狀態：描述事物的性質，取決於你如何去思考這個問題的性質特點。對問題求解狀態的描述是分階段的
• 決策：是一種狀態轉移的選擇，從當前狀態轉移到下一狀態
• 狀態轉移方程：數學公式描述與狀態有關的演變規律

動態規劃的一個模型、三大特點

• 多階段決策最優解模型
• 最優子結構
  • 問題的最優解包含子問題的最優解。可以通過子問題的最優解推匯出問題的最優解，也可以理解成後面階段的狀態可以通過前面的狀態推匯出來
• 無後效性
  • 在推導後面階段狀態的時候，我們只關心前面階段的狀態值，不關心這個狀態是怎麼一步步推匯出來的
  • 某階段狀態一旦確定，就不受之後階段的決策影響
• 重複子問題
  • 不同的決策序列，到達某個相同的階段時，可能會產生重複的狀態。

例題

例1、導彈攔截

​ 某國為了防禦敵國的導彈襲擊，發展出一種導彈攔截系統。但是這種導彈攔截系統有一個缺陷：雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度，但是以後每一發炮彈都不能高於前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的導彈來襲。由於該系統還在試用階段，所以只有一套系統，因此有可能不能攔截所有的導彈。

輸入導彈依次飛來的高度（雷達給出的高度資料是\(≤50000\)的正整數），計算這套系統最多能攔截多少導彈。

【輸入格式】

\(1\)行，若干個整數（個數\(≤100\)）

【輸出格式】

\(1\)行，表示這套系統最多能攔截多少導彈。

【輸入樣例】

389 207 155 300 299 170 158 65

【輸出樣例】

6

該問題的本質是尋找一個最長不下降子序列（該子序列可以不連續）。

那麼劃分階段可以根據導彈來，第幾個導彈就是第幾個階段

假定，要攔截當前飛來的導彈，那麼需要找到此前飛來的導彈中，已經被攔截的數量最多的系統，來進行攔截，並且要保證當前的導彈高度不超過這個系統的最後一枚導彈高度。

可以定義\(d[i]\)表示從\(1\)到\(i\)枚導彈中，攔截\(a[i]\)導彈的系統最多能攔截的導彈數量，滿足最優子結構。\(d[i]\)這個狀態明顯應該從\(1\)到\(i-1\)枚導彈中大於等於\(a[i]\)且\(d[j]\)的值最大的狀態轉移過來，滿足無後效性。

參考程式

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define N 105
using namespace std;

int main () {
	int a[N], d[N], ans = 0;
	int n = 1;
	while (scanf ("%d", &a[n]) != EOF) {
		d[n] = 1;
		n ++;
	}
	n --;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (a[i] <= a[j] && d[j] + 1 > d[i]) {
				d[i] = d[j] + 1;
				if (d[i] > ans)
					ans = d[i];
			}
		}
	}
	printf ("%d", ans);
	return 0;
}

例2、挖地雷

在一個地圖上有\(N\)個地窖\((N≤20)\)，每個地窖中埋有一定數量的地雷。同時，給出地窖之間的連線路徑。當地窖及其連線的資料給出之後，某人可以從任一處開始挖地雷，然後可以沿著指出的連線往下挖（僅能選擇一條路徑），當無連線時挖地雷工作結束。設計一個挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。

【輸入格式】

有若干行。

第\(1\)行只有一個數字，表示地窖的個數\(N\)。

第\(2\)行有\(N\)個數，分別表示每個地窖中的地雷個數。

第\(3\)行至第\(N+1\)行表示地窖之間的連線情況：

第\(3\)行有\(n-1\)個數（\(0\)或\(1\)），表示第一個地窖至第\(2\)個、第\(3\)個、…、第\(n\)個地窖有否路徑連線。如第\(3\)行為\(11000…0\)，則表示第\(1\)個地窖至第\(2\)個地窖有路徑，至第\(3\)個地窖有路徑，至第\(4\)個地窖、第\(5\)個、…、第\(n\)個地窖沒有路徑。

第\(4\)行有\(n-2\)個數，表示第二個地窖至第\(3\)個、第\(4\)個、…、第\(n\)個地窖有否路徑連線。

… …

第\(n+1\)行有\(1\)個數，表示第\(n-1\)個地窖至第\(n\)個地窖有否路徑連線。（為\(0\)表示沒有路徑，為\(1\)表示有路徑）。

【輸出格式】

有兩行

第一行表示挖得最多地雷時的挖地雷的順序，各地窖序號間以一個空格分隔，不得有多餘的空格。

第二行只有一個數，表示能挖到的最多地雷數。

【輸入樣例】

5
10 8 4 7 6
1 1 1 0
0 0 0
1 1
1

【輸出樣例】

1 3 4 5
27

注意路徑是單向路徑。

用\(f[i]\)表示到挖到\(f[i]\)這個地窖，能夠挖到的最多地雷數量。答案就在f序列中最大的那個值上。

狀態轉移方程如下：

\(f[i] = f[j] + a[i] {1<=j <i \,\,\, and \,\,\, f[j]+a[i] > f[i]}\)

翻譯過來就是找到能夠通往當前地窖中的地窖，並且地雷數量最多的地窖，將地雷數轉移過來。前提是之前的地窖也都滿足這個最優子結構。

參考程式

#include <iostream>
#include <cstring>
#define N 25
using namespace std;
int a[N], f[N], p[N], g[N][N];

void put_seq (int x) {
	if (x == p[x]) {
		cout << x << " ";
		return;
	}
	put_seq(p[x]);
	cout << x << " ";
}
int main () {
	memset(p, -1, sizeof(p));
	int n, mx = 1;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		f[i] = a[i];
		if (f[i] > f[mx])
			mx = i;
	}

	for (int i = 1; i < n; i++) 
		for (int j = i+1; j <= n; j++) 
			cin >> g[i][j];
	for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
	
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j < i; j ++) {
			if (g[j][i] && f[j]+a[i] > f[i]) {
				f[i] = f[j] + a[i];
				p[i] = j;
				if (f[i] > f[mx]) 
					mx = i;				
			}
		}
	}
	put_seq(mx);
	cout << "\n" << f[mx];
	return 0;
}

總結

動態規劃的核心思想就是記錄結果再利用，從而避免子問題重複計算，採用空間換取時間效率。

一般來說，解決動態規劃問題有\(4\)個步驟

• 刻畫一個最優解的結構特徵。
• 找出狀態轉移方程。
• 計算最優解的值，通常採用自底向上的方法。
• 利用計算出的資訊構造一個最優解。

動態規劃類的問題包含兩個重要要素

• 最優子結構
• 重疊的子問題