一、爬樓梯

假設你正在爬樓梯。需要 n階你才能到達樓頂。
每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？
注意：給定 n 是一個正整數。

示例 1：

輸入： 2
輸出： 2
解釋： 有兩種方法可以爬到樓頂。

1. 1 階 + 1 階
2. 2 階

示例 2：

輸入： 3
輸出： 3
解釋： 有三種方法可以爬到樓頂。

1. 1 階 + 1 階 + 1 階
2. 1 階 + 2 階
3. 2 階 + 1 階

解題思路

本題是動態規劃裡面最簡單的題目了，印象中第一次見到這個題目還是在藍橋杯的練習題中。
雖然本篇是動態規劃的入門文章，但是我並不會說任何書面上寫的動態規劃演算法的定義。這是因為動態規劃的概念還是很複雜的，看完動態規劃演算法的思路和特性估計你就被動態規劃嚇到了。
關於動態規劃的定義，我只說一句個人看法——動態規劃求的是全域性最優解。全域性意味著動態規劃是要全盤考慮問題的。話不多說，我們先從題目解答中開始體會。

本題中，我們看到，爬1階梯只有1種方法，爬2階梯有2種方法。那我們就能想到，爬3階梯有3種，這是因為爬3階等於爬2階的基礎上再爬1階。同理爬4階等於在3階的基礎上爬1階和2階的基礎上爬2階；

這種“站在巨人的肩膀上”的思路就是動態規劃的思想。

實現程式碼

首先我們能想到的是使用遞迴的方法。遞迴方法跟我們上面的思路正好反過來。遞迴的思路是爬n階樓梯的方式等於爬n-1階樓梯的次數加上n-2階樓梯的次數。但是遞迴方法不會儲存計算結果，導致有很多重複的計算，因此超時也就不可避免了。

1. 遞迴

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}
 

執行結果：超時

2. 動態規劃

動態規劃的整體思路跟遞迴很像，但是會通過一個dp陣列儲存計算結果。這樣計算速度就會快很多。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] steps=new int[n];
        if(n==1){
            return 1;
        }
        steps[0]=1;
        steps[1]=2;
        for(int i=2;i<n;i++){
            steps[i]=steps[i-1]+steps[i-2];
        }
        return steps[n-1];
    }
}
 

二、連續子陣列的最大和

給定一個整數陣列 nums，找到一個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含一個元素），返回其最大和。

示例 1：

輸入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出：6
解釋：連續子陣列[4,-1,2,1] 的和最大，為6 。

示例 2：

輸入：nums = [1]
輸出：1
示例 3：

輸入：nums = [0]
輸出：0

示例 4：

輸入：nums = [-1]
輸出：-1

示例 5：

輸入：nums = [-100000]
輸出：-100000

提示：

1 <= nums.length <= 3 * 104
-105 <= nums[i] <= 105

進階： 如果你已經實現複雜度為 O(n) 的解法，嘗試使用更為精妙的 分治法 求解。

解題思路

動態規劃是本題的最優解。動態規劃的思路也很清晰。假設有一個數組[-2,1]，那麼我們可以看到[-2,1]兩數的和比陣列第二個元素1要小。因此連續子陣列的最大和為1。當陣列變為[-2,1,-3]的時候，我們已經知道[-2,1]這部分陣列的連續子陣列的最大和為1。那麼1跟[-3]比較是1比較大，因此這個陣列的連續子陣列的最大和依然為1。

簡而言之，每次陣列新增一個元素，都需要跟增加前的陣列的連續子陣列的最大和相比較，結果較大的那個就是新增後陣列的連續子陣列的最大和。程式碼實現如下：

實現程式碼

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int dp[]=new int[nums.length];
        dp[0]=nums[0];
        int max=dp[0];
        for(int i=1;i<dp.length;i++){
            //compare the num last status plus current num and current num 
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            //compare max and dp[i],it will update max
            max=Math.max(max,dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

三、遊戲幣組合

硬幣。給定數量不限的硬幣，幣值為25分、10分、5分和1分，編寫程式碼計算n分有幾種表示法。(結果可能會很大，你需要將結果模上1000000007)

示例1:

輸入: n = 5
輸出：2
解釋: 有兩種方式可以湊成總金額:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

輸入: n = 10
輸出：4
解釋: 有四種方式可以湊成總金額:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

說明：

注意:

你可以假設：

0 <= n (總金額) <= 1000000

解題思路

這道題的狀態轉移方程似乎不那麼容易看出來，不過我們可以列一個表格來觀察一下，看能不能發現一點什麼規律。

首先我們定義一個dp陣列和所有的硬幣陣列

 int[] dp = new int[n + 1];
 int[] coins = {1,5,10,25};

並且設定dp[0]=1,為邊界的條件，作為完美能被一個硬幣表示的情況為 1。
dp[i]+=dp[i-coin]當i-coin為0時結果為1，表示一個硬幣能表示的情況。

我們可以簡單的得出狀態轉移方程

// 題目中需求對結果取模1000000007
dp[i] = dp[i] + dp[i - coin] 

程式碼實現

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
       int dp[]=new int[n+1];
       int coins[]={1,5,10,25};
       dp[0]=1;

        for(int coin : coins) {
            for(int i = coin; i <= n; i++) {
                dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin]) % 1000000007;
            }
        }
        return dp[n];
    }
}