CodeForces Div3.F - Zero Remainder Sum

題意

給定一個 \(n \times m\)的矩陣，你可以在每一行選擇不多於\(\frac{n}{2}\)個元素，使得整體選擇的元素的和模\(k\)為0，並且和越大越好。

分析

據說是一道標準的動態規劃問題。

令\(dp[x][y][cnt][rem]\)表示當前在\(i,j\)，當前行已經選取了\(cnt\)個元素並且當前的餘數是\(rem\)

初始化\(dp\)為負無窮，\(dp[0][0][0][0] = 0\)

狀態轉移

答案就是\(max(dp[n][0][0][0],0)\)，這裡可以認為是最後一行的下一行的第一個元素

注意一下實現的時候直接套上四個\(for\)就行了

程式碼

const int M = 70;

int a[M][M];
int dp[M][M][M][M];

int main() {
    int n = readint();
    int m = readint();
    int k = readint();
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++)
            a[i][j] = readint();
    memset(dp, -INF, sizeof dp);
    dp[0][0][0][0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            for (int cnt = 0; cnt < m / 2 + 1; cnt++) {
                for (int rem = 0; rem < k; rem++) {
                    if (dp[i][j][cnt][rem] == -INF) continue;
                    int nx = (j == m - 1 ? i + 1 : i);
                    int ny = (j == m - 1 ? 0 : j + 1);
                    if (i != nx)
                        dp[nx][ny][0][rem] = max(dp[nx][ny][0][rem], dp[i][j][cnt][rem]);
                    else
                        dp[nx][ny][cnt][rem] = max(dp[nx][ny][cnt][rem], dp[i][j][cnt][rem]);
                    if (cnt + 1 <= m / 2) {
                        int nrem = (rem + a[i][j]) % k;
                        if (i != nx)
                            dp[nx][ny][0][nrem] = max(dp[nx][ny][0][nrem], dp[i][j][cnt][rem] + a[i][j]);
                        else
                            dp[nx][ny][cnt + 1][nrem] = max(dp[nx][ny][cnt + 1][nrem], dp[i][j][cnt][rem] + a[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << max(0,dp[n][0][0][0]);
}