NOIP2020 移球遊戲

阿新 • • 發佈：2020-12-12

Description

給定 $n+1$ 個棧，前 $n$ 個棧內有不定的 $m$ 個元素，最後一個棧為空，每個棧的最大容量為 $m$
每種顏色都有 $m$ 種，求任意一種方法，使得在 $820000$ 次操作內把相同的元素都移動到同一個棧內

Solution

考慮移動單個元素
列舉元素種類，設當前列舉到的元素種類為 $Now$

移動規則如下

統計第一個柱子上元素 $Now$ 的數量 $Count$
從第 $Now$ 個棧移動 $Count$ 個元素到第 $Now+1$ 個棧上（為了預留出位置存放元素 $Now$）
把第一根柱子的元素分離，是 $Now$

的放到棧 $Now$ 內，不是的放到棧 $Now+1$ 內
從棧 $Now+1$ 移動 $m-Count$ 個元素到第一個柱子（為第二個柱子讓位）
把第二個棧內不是 $Now$ 的元素移動到第一個棧上，放不開了就放到第 $Now+1$ 個棧內
$\text{swap}$ 分別交換第一和第 $Now$，第二和第 $Now+1$ 個棧（這樣不停操作第一二個棧和列舉的棧 $Now$ 就可以了）
然後 $k$ 列舉第一到第 $Now$ 個棧，分別統計他們裡面元素 $Now$ 的數量，然後把第 $Now$ 個棧移走相同數量的元素到 $Now+1$

上（原因同第二步）
分離當前列舉到的棧內的元素，把元素 $Now$ 都放到棧 $Now$ 內，其他的都放到棧 $Now+1$ 內
$\text{swap}$ 分別交換第 $k$ 和第 $Now$，第 $k$ 和第 $Now+1$ 個棧（證明棧 $Now$ 已被處理完，之後不會再對其操作）
然後把第一到第 $Now$ 個棧上方的 $Now$ 元素都移到棧 $Now+1$ 上，放上棧 $Now$ 內的元素 $Now$（此時棧 $Now$ 上方全是元素 $Now$）

如此，可以處理玩所有的顏色
然而，這個方法並不適用於 $n=2$

的情況
原因是當列舉第一個顏色時，第 $Now+1$ 個棧就是第二個棧
所以要特判處理
移動規則與 $n\geq3$ 時大同小異
無非是

統計第一棧內元素 $1$ 的個數，然後從第二棧移動相同的數量到第三棧
分離第一棧，把元素 $1$ 放到第二棧上，其他的放到第三棧上
然後把第二棧上的元素 $1$ 移回第一棧，使第一棧此時只有元素 $1$
從第三棧移動 $m-Count$ 個元素到第一棧，剩下的移回第二棧
把那 $m-Count$ 個元素移回去
分離第二棧，是 $1$ 的放回第一棧，不是的放回第三棧
因為一種只有兩種元素，且可以確定第一棧全為 $1$ ，第三棧全為 $2$
所以至此問題得到解決

極限操作次數為 $\sum_{i=1}^n im + 5m$，大概需要 $600000$ 次，時間複雜度同操作次數

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rr register 
#define maxn 410
#define maxm 850010 

using namespace std;

int n,m,cnt[maxn],fr[maxm],to[maxm];
int Col[maxn][maxn],P[maxn];
int Ans;//移動次數 
//Col[i][j]第 i 根柱子上的第 j 個球的顏色 
//P[i]第 i 跟柱子
//cnt[i]當前柱子上球的數量  

inline int Read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}

inline int Get_Count(int x,int y){
	int ans=0;//統計在第 x 列第 y 種顏色的數量 
	for(int i=1;i<=m;i++) if(Col[x][i]==y) ans++;
	return ans;
}

inline void Move_Ball(int x,int y){
	fr[++Ans]=x;to[Ans]=y;//把第 x 列最上方的球移動到第 y 列 
	Col[y][++cnt[y]]=Col[x][cnt[x]--];
}

inline int Top(int x){return Col[x][cnt[x]];}//求柱子最上方的球 

int main(){
	n=Read();m=Read();
	for(rr int i=1;i<=n;i++){cnt[i]=m;for(rr int j=1;j<=m;j++) Col[i][j]=Read();}
	for(rr int i=1;i<=n+1;i++) P[i]=i;cnt[n+1]=0;  
	for(rr int Now=n;Now>=3;Now--){//只有 2 根柱子的時候情況與方法不符，所以分開處理 
		int Count=Get_Count(P[1],Now);
        //找第一根柱子上當前顏色的數量，然後把第 Now 根移動相同的數量到第 Now + 1 根上去，為第一根讓位 
		for(rr int i=1;i<=Count;i++) Move_Ball(P[Now],P[Now+1]); 
		for(rr int i=1;i<=m;i++) if(Top(P[1])==Now) Move_Ball(P[1],P[Now]);else Move_Ball(P[1],P[Now+1]);
		//把第一根柱子上的球分離顏色，如果是第 Now 種顏色就移動到第 Now 根柱子上，否則就移動到 Now + 1 上 
		for(rr int i=1;i<=m-Count;i++) Move_Ball(P[Now+1],P[1]);//把 m - Count 個球移回第 1 根柱子，為第二根讓位 
		for(rr int i=1;i<=m;i++) if(Top(P[2])==Now||cnt[P[1]]==m) Move_Ball(P[2],P[Now+1]);else Move_Ball(P[2],P[1]);
		//把第 2 根柱子上的不是 Now 的球移動到第一根上，放不開就放第 Now + 1 根，從而使第一根柱子上不存在 Now
		swap(P[1],P[Now]);swap(P[2],P[Now+1]);//處理過的移走，方便下次處理其他的柱子
		for(rr int k=1;k<Now;k++){
			Count=Get_Count(P[k],Now);
			for(rr int i=1;i<=Count;i++) Move_Ball(P[Now],P[Now+1]); 
		    for(rr int i=1;i<=m;i++) if(Top(P[k])==Now) Move_Ball(P[k],P[Now]);else Move_Ball(P[k],P[Now+1]); 
		    swap(P[k],P[Now+1]);swap(P[k],P[Now]);//分離前 Now 根柱子上的顏色，操作同上 
		}
		for(rr int i=1;i<Now;i++) while(Top(P[i])==Now) Move_Ball(P[i],P[Now+1]);//把能分離的 Now 都放到柱子 Now + 1 上 
		for(rr int i=1;i<Now;i++) while(cnt[P[i]]<m) Move_Ball(P[Now],P[i]);//此時柱子 Now 上面的顏色全是 Now 
	}
	int Count=Get_Count(P[1],1);//只有兩根柱子的情況 
	for (rr int i=1;i<=Count;i++) Move_Ball(P[2],P[3]);
	for (rr int i=1;i<=m;i++) if (Top(P[1])==1) Move_Ball(P[1],P[2]);else Move_Ball(P[1],P[3]);
	for (rr int i=1;i<=Count;i++) Move_Ball(P[2],P[1]);
	for (rr int i=1;i<=m-Count;i++) Move_Ball(P[3],P[1]);
	while (cnt[P[3]]) Move_Ball(P[3],P[2]);
	for (rr int i=1;i<=m-Count;i++) Move_Ball(P[1],P[3]);
	for (rr int i=1;i<=m;i++) if (Top(P[2])==1) Move_Ball(P[2],P[1]);else Move_Ball(P[2],P[3]);
	printf("%d\n",Ans);for(int i=1;i<=Ans;i++) printf("%d %d\n",fr[i],to[i]); 
	return 0;
}