[NOIP2020] 移球遊戲
tag:構造
鴿了一萬年的題目
顯然這是一個不用任何高階演算法的純構造題，多造幾個資料手玩一下，大概可以找到一種通解。
首先大體思路是挨個處理每個顏色，處理好一個顏色就扔到最後面去，然後n--。
對於一個顏色 \(c\)，可以分為幾步：
下面假設顏色 \(c\) 為 \(1\)，而非 \(c\) 的顏色均為 \(0\)。
- 處理出一個全 \(0\) 列，放在第 \(n\) 列。(第 \(n+1\) 列為空列)
- 利用這個全 \(0\) 列和空列將前 \(n-1\) 列中的 \(1\) 全部放到末尾。
- 將前 \(n-1\) 列中的 \(1\) 放到空列，並用第 \(n\) 列去填補空缺。
一些定義
- \(S0\)，某一列 \(0\) 的個數
- \(S1\)，某一列 \(1\) 的個數
step 1
製造全 \(0\) 列。
- 從 \(n\) 移動 \(S1_1\) 個元素到 \(n+1\)。
- 依次取出第 \(1\) 列每個元素，為 \(1\) 就放到 \(n\)，為 \(0\) 就放到 \(n+1\)。（不難發現第一步是在幫第二步讓位置）
- 將第 \(n+1\) 列末尾的 \(0\) (剛才移動過來的)全部移動到第 \(1\) 列。
這個時候，第 \(1\) 列會有若干 \(0\)，但顯然不滿一列，所以再從第 \(2\) 列拿一點 \(0\) 過來就行。
- 依次取出第 \(2\) 列，若第 \(1\) 列不滿且當前元素為 \(0\)，就扔到 \(1\)，否則扔到 \(n+1\)。
// make one column all 0 int num1=0; for(register int i=1; i<=m; i++) if(val(1,i)==n) num1++; if(num1){ move(n,n+1,num1); for(register int i=m; i; i--) if(val(1,i)==n) move(1,n); else move(1,n+1); move(n+1,1,m-num1); for(register int i=m; i; i--) if(val(2,i)!=n and num1) move(2,1), num1--; else move(2,n+1); swap(p[2],p[n+1]); swap(p[1],p[n]); } else swap(p[1],p[n]);
這樣以後，第一列為全 \(0\) 列，第二列為空列。
簡單處理一下，將全 \(0\) 列放到第 \(n\) 列，空列放在第 \(n+1\) 列。（並不需要花費任何操作，只是交換一下編號就行，方便實現和解釋）
step 2
將每一列的 \(1\) 放到末尾。
這裡假設每一次，第 \(n\) 列都為全 \(0\)，而第 \(n+1\) 列為空
- 從 \(n\) 移動 \(S1_i\) 個元素到 \(n+1\)。（還是讓位置）
- 依次取出第 \(i\) 列的每個元素，\(1\) 扔到 \(n\)，\(0\) 扔到 \(n+1\)。
操作完後，第 \(i\) 列變成空列，第 \(n\) 列為先一堆 \(0\) 再加上一堆 \(1\)，第 \(n+1\) 列為全 \(0\) 列。再交換一下編號，使得第 \(n\) 列都為全 \(0\)，而第 \(n+1\) 列為空。
// make all 1 on the top of each column
for(register int i=1; i<n; i++){
num1 = 0;
for(register int j=1; j<=m; j++) if(val(i,j)==n) num1++;
if(!num1) continue;
move(n,n+1,num1);
for(register int j=m; j; j--)
if(val(i,j)==n) move(i,n);
else move(i,n+1);
swap(p[i],p[n+1]); swap(p[i],p[n]);
}
操作完每一列以後，前 \(n-1\) 列均為 \(0\cdots01\cdots1\) 的形式，第 \(n\) 列為全 \(0\)，第 \(n+1\) 列為空。
step 3
集中前 \(n-1\) 列中的 \(1\)。這一步直接把每一列末尾的 \(1\) 扔到 \(n+1\) 就行了，形成的空缺用全 \(0\) 列去填。
// move all 1 to one column
for(register int i=1; i<n; i++){
num1 = 0;
for(register int j=1; j<=m; j++) if(val(i,j)==n) num1++;
move(i,n+1,num1); move(n,i,num1);
}
n--;
最後可以得到第 \(n\) 列為空，而第 \(n+1\) 列全 \(1\)。
step 4
寫完程式後，你會發現樣例都過不了……
仔細想想，step 1要用到三個任意列，一個空列，才能構造出一個全 \(0\) 列。但是當 \(n=2\) 的時候呢？
所以只剩兩列的時候單獨處理。
- \(2\) 移動 \(S1_1\) 個元素到 \(3\)。（讓位置）
- 依次取出 \(1\) 的元素，\(1\) 扔到 \(2\)，\(0\) 扔到 \(3\)。
- 把 \(3\) 末尾剛剛扔進去的 \(0\) 放回 \(1\)，再把 \(2\) 末尾的 \(1\) 放回 \(1\)，再把 \(3\) 全部扔回 \(2\)。
這個時候相當於給第一列排了個序，第二列不變。然後我們把第一列末尾的 \(1\) 放到第三列，那麼第一列全 \(0\)，第三列全 \(1\)。所以第二列的元素挨個對應著扔就行了。
// solve last 2 columns
int num1=0;
for(register int i=1; i<=m; i++) if(val(1,i)==1) num1++;
if(num1!=m and num1!=0){
//sort column 1
move(2,3,num1);
for(register int i=m; i; i--)
if(val(1,i)==1) move(1,2);
else move(1,3);
move(2,1,num1); move(3,1,m-num1); move(3,2,num1);
//deal with column 2
move(1,3,m-num1);
for(register int i=m; i; i--)
if(val(2,i)==1) move(2,1);
else move(2,3);
}
最後的樣子應該是第一列全 \(1\)，第二列空，第 \(i\) 列全為 \(i-1\)。（\(i\geq3\)）