隨機變數的數字特徵小複習

• 離散型隨機變數的數學期望：

\[EX = \sum{x_kp_k} \]

• 連續型隨機變數的數學期望：

\[EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \]

泊松分佈的引數 \(\lambda\) 就是其數學期望

隨機變數函式的數學期望

\(X\) 是隨機變數，\(Y = g(X)\) 為單調函式或連續函式

• X 是離散型隨機變數，且 \(g(x_k)\) 收斂：

\[EY = E[g(X)] = \sum^{\infty}_{k=1}g(x_k)p_k \]

• X 是連續型隨機變數，且 \(g(x)\) 收斂：

\[EY = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx \]

(X, Y)為二維隨機變數，$z=g(x,y)是連續函式

• (X, Y)是離散型隨機變數，且求和結果不為無窮：

\[EZ = E[g(X, Y)] = \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=1}g(x, y)p_{ij} \]

• 連續型：

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x, y)dxdy \]

數學期望的性質：

• C 為常數，有

\[EC = C \]

• C 為常數，X 為隨機變數，有

\[E(CX) = CEX \]

• X,Y 為任意的隨機變數，則

\[E(X+Y) = EX + EY \]

• X 和 Y 是相互獨立的隨機變數，有

\[E(XY) = EX \cdot EY \]

方差概念

X 是隨機變數，且 \(E(X-EX)^2\) 存在，即方差。

\[DX = E(X - EX)^2 \]

• X 是離散型隨機變數

\[DX = \sum^\infty_{k=1}(x_k - EX)^2p_k \]

• 連續型

\[DX = \int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx \]

通用公式：

\[DX = EX^{2} - (EX)^{2} \]

方差的性質

C 為常數，X、Y 是兩個隨機變數
(1) \(DC = 0\)
(2) \(D(CX) = C^2DX\)

(3)

\[D(X+Y) = DX+DY {\pm} 2E(x-EX)(Y-EY) \]

若X 和 Y 相互獨立：
\(D(X\pm Y) = DX + DY\)
(4) \(DX \leq E(X-C)^2\)，
當且僅當 $ C = EX$ 時，\(E(X-C)^2\) 取得最小值 DX。
(5) \(DX = 0\)的充要條件是 $P{X = C} = 1

協方差

\[\begin{aligned} cov(X, Y) &= E(X = E)(Y - EY) \\ &= E(XY) - EX \cdot EY \end{aligned} \]

性質

• \(cov(X,Y) = cov(Y, X)\)
• \(cov(aX, bY) = ab\space cov(X, Y)\)
• \(cov(X_1 + X_2, Y) = cov(X_1, Y) + cov(X_2, Y)\)
• X, Y相互獨立， cov(X, Y) = 0

相關係數

\[\rho XY = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} \]

相關係數的絕對值必定不大於1，且當X和Y為線性關係時才為1。
\(\rho XY\)即X和Y不相關。