概率與隨機變數
阿新 • • 發佈：2021-12-06
概率與隨機變數（概率論的核心部分）
概率
在滿足以下3個公理的情況下,將一個實數\(P(A)\)賦給每個事件\(A\)的函式\(P\)是一個概率分佈(probability distribution)或者一個概率測度(probability measure):
\(Axiom\ 1: P(A) \ge 0\ for\ every\ A\)
\(Axiom\ 2: P(\Omega) = 1\)
\(Axiom\ 3: 如果 A_1, A_2, ... 不相交，那麼 P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\Sigma_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)
隨機變數
一個隨機變數是一個對映\(X:\Omega\to R\)
分佈函式和概率函式
累積分佈函式，或者說CDF，是一個函式\(F_X:R\to [0,1]\):
\[F_X(x)=P(X\le x) \]如果X具有可數的值\({x_1,x_2,...}\)，那麼X是離散的。我們定義X的概率函式或概率質量函式為
\[f_X(x)=P(X=x) \]當對所有\(x\)，存在\(f_X(x)\ge 0\)且\(\int_{-\infty}^{\infty}\)且對任意\(a\le b\),
\[P(a<X<b)=\int_{a}^{b}f_X(x)dx \]這個函式\(f_X\)被稱為概率密度函式(PDF)，我們有
且在所有點x處\(F_X\)可微且\(f_X(x)=F'_X(x)\)。
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- 12月06日 19:32 嚴格的定稿完成