1. 上臺階

小明要上一個n級臺階，他每次可以上1級或者直接上2級，請問小明一共有幾種不同的方法上臺階？
例如，對於一個3級的臺階，小明有3種不同的方法上去：1）每次上1級。2）先上1級，再直接上2級。3）先直接上2級，再上1級。

• 題解
  思考對於第i階臺階，可從第i-1階和第i-2階走過來，走到第0/1階都只有1種方式，可寫出遞迴方程

遞迴程式：時間複雜度\(O(2^n)\)

def f(n):
      if n==1 or n==0:
            return 1
      return f(n-1)+f(n-2)
n=int(input())
print(f(n))
 

觀察到\(f(i-2)\)還可被\(f((i-1)-1)\)重複呼叫，可轉化為記憶化搜尋（python寫不了,下面是c++），將\(f(i)\)的值在第一次訪問後記錄下來，節省時間/空間。時間複雜度\(O(n)\)（常數較大）

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[10000]
int func(n)
{
      return f[n]? f[n]:fn[n]=func(n-1)+func(n-2);
}
int main()
{
      int n;
      scanf("%d",&n);
      printf("%d",func(n));
      return 0;
}
 

記錄後觀察陣列資料/轉移方程，可以看出是fib，利用單層迴圈可解決。時間複雜度\(O(n)\)

f=[0]*1000
n=int(input())
f[0]=1
f[1]=1
for i in range(2,n+1):
      f[i]=f[i-1]+f[i-2]
print(f[n])

此處還可利用線性代數優化時間複雜度到\(O(logn)\)

2. 黃金分割

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。
要求：從鍵盤輸入一個整數n作為整體，將n分解為兩個整數n1和n2（假設n1<=n2），使得n1+n2=n，模擬黃金分割，找到n1與n2比值和n2與n比值最接近的那組資料，並且將該比值以及n1、n2的值存入列表並輸出。
例如，n=5，可以分解為[1,4]和[2,3]兩組，滿足上述要求的是[2, 3]，將[0.6666666666666666, 2, 3]存入列表並輸出。

• 題解
  暴力列舉每一組拆分情況,找到最接近的解,時間複雜度\(O(n)\)

n = int(input(''))
cek=0.618
E=1e-6
_min=10000000
ans=[]
for i in range(1,n):
    if (abs((n-i)/i-cek)<_min):
        ans=[(n-i)/i,n-i,i]
        _min=abs((n-i)/i-cek)
print(ans)

3. 賣鴨子

一個人趕著鴨子去每個村莊賣，每經過一個村子賣去所趕鴨子的一半又一隻。這樣他經過了n個村子後還剩m只鴨子，問他出發時共趕多少隻鴨子？（n和m是輸入的已知值）

• 題解
  反向看問題,每走過一個村莊得到一隻鴨子再翻倍,時間複雜度\(O(n)\)

n = eval(input())
m = eval(input())
while(n!=0):
    m=(m+1)*2
    n-=1
print(m)

也可根據二進位制特性\(O(1)\)解決

4. 二分法求方程的根

請使用二分法求方程

在範圍內[2,5]之間的根root, 要求f(root)的值與0值的誤差小於等於1e-8。已知f(2)<0, f(5)>0。要求所求根保留8位小數輸出

• 題解
  由於已知\(f(2)<0, f(5)>0\)二分答案判斷中點值處函式值大小,根據正負選擇下一步二分割槽間

import math
def f(x):
    return -math.sin(x)*math.e**x+15*math.cos(x)*x**0.5
E=1e-8
l=2
r=5
mid=(l+r)/2
while(abs(f(mid))>E):
    if( f(mid)<0):
        l=mid
    else:
        r=mid
    mid=(l+r)/2
print(mid)

5.足球比賽

有三隻球隊，每隻球隊編號分別為球隊1，球隊2，球隊3，這三隻球隊一共需要進行 n 場比賽。現在已經踢完了k場比賽，每場比賽不能打平，踢贏一場比賽得一分，輸了不得分不減分。已知球隊1和球隊2的比分相差d1分，球隊2和球隊3的比分相差d2分，每場比賽可以任意選擇兩隻隊伍進行。求如果打完最後的 (n-k) 場比賽，有沒有可能三隻球隊的分數打平。


輸入描述:
第一行包含一個數字 t (1 <= t <= 10)
接下來的t行每行包括四個數字 n, k, d1, d2(1 <= n <= 10^12; 0 <= k <= n, 0 <= d1, d2 <= k)
輸出描述:
每行的比分資料，最終三隻球隊若能夠打平，則輸出“yes”，否則輸出“no”

• 題解
  簡單的結論題,但因為是結論題所以不簡單........

在踢完\(k\)場比賽後,分數可能有以下四種情況

根據題意,表格中的任意一個數都應該是正整數,且和為\(k\).則可在上述四種中找出正確的組合.

1. 若第一種情況成立,打平需要讓1隊/3隊分別獲得d1/d2分,再將剩下的分數三等分
2. 若第二種情況成立,打平需要讓2隊/3隊分別獲得d1/d1+d2分,再將剩下的分數三等分
3. 若第三種情況成立,打平需要讓1隊/2隊分別獲得d1+d2/d2分,再將剩下的分數三等分
4. 若第四種情況成立,打平需要讓[1/3中較小的一隊]/2隊分別獲得\(max\{d1,d2\}-min\{d1,d2\}\)/\(max\{d1,d2\}\)分,再將剩下的分數三等分

若符合以上四種情況中的任意一種則可輸出'yes',否則輸出'no'

t = int(input())
for i in range(t):
    [n, k, d1, d2] = [int(x) for x in input().split(' ')]
    r = n - k        
    if d1>d2:
        x = 2*d1-d2
        y = d1
    else:
        x = 2*d2-d1
        y = d2
    if (r-(2*d1+d2))>=0 and (r-(2*d1+d2))%3==0 and (n-3*(d1+d2))>=0 and (n-3*(d1+d2))%3==0:
        print('yes')
    elif (r-x)>=0 and (r-x)%3==0 and (n-3*y)>=0 and (n-3*y)%3==0:
        print('yes')
    elif (r-(d1+d2))>=0 and (r-(d1+d2))%3==0 and (n-3*y)>=0 and (n-3*y)%3==0:
        print('yes')
    elif (r-(d1+2*d2))>=0 and (r-(d1+2*d2))%3==0 and (n-3*(d1+d2))>=0 and (n-3*(d1+d2))%3==0:
        print('yes')
    else:
        print('no')

6.陣列基本操作

建立初始值為1，終值為12，元素個數為12的等差陣列，使其元素為整數，改變陣列形狀為3行4列的二維陣列，將陣列中值小於3或大於9的元素值設為0，最後選取陣列的第一列和最後一列輸出。

• 題解
  考察numpy基本操作 numpy標準文件

import numpy as np
l=np.arange(1,13,1,int) #建立初始值為1，終值為12，元素個數為12的等差陣列，使其元素為整數
x=l.reshape(3,4)        #改變陣列形狀為3行4列的二維陣列
x[x<3]=0
x[x>9]=0                 #將陣列中值小於3或大於9的元素值設為0
print(x[:,0],x[:,-1])    #最後選取陣列的第一列和最後一列輸出

7.九九乘法表

for i in range(1,10):
    for j in range(1,i+1):
        print('{0}*{1}={2}'.format(i,j,i*j),end=' ')
    print()

(不知道為什麼過不了,明明和圖片一樣)

8.二分法進行數字查詢

請使用二分法在一個升序列表中查詢兩個數，使得兩者的立方和等於給定的數X。
如果找到了，請輸出這兩個數，並用空格分隔；如果沒有找到，請輸出-1

• 題解
  迴圈找第一個數,二分找第二個

9.公式計算並列印

編寫一個程式，根據給定的公式計算並列印值:

以下是C和H的固定值:C是50。H是30。
D是一個變數，它的值應該以逗號分隔的序列輸入到程式中。

import math
c = 50
h=30
t=[]
t = map(int,input().split(','))
for d in t:
    print(math.sqrt(2*c*d/h))

這題不知道輸出格式...

10.陣列基本操作

a是一個n行m列的二維陣列，求出陣列周邊元素之和。

print(l.sum(axis=1)[0]+l.sum(axis=1)[n-1]+l.sum(axis=0)[0]+l.sum(axis=0)[m-1]-l[0][0]-l[0][m-1]-l[n-1][0]-l[n-1][m-1])

11陣列基本操作

程式碼中score表示n個學生3門功課的成績表，資料已經生成
要求：
1. 求出每門課程的最高分以及對應的行索引，輸出最高分及行索引（從第1行開始計數）。
2. 求出每個學生的平均成績並輸出。

print(np.amax(score,axis=1))
print(np.argmax(score,axis=1))
print(np.mean(score,axis=1))