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題目

部落格園

題目描述：

給定一個 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向連通圖，頂點從 \(1\) 編號到 \(n\)，邊從 \(1\) 編號到 \(m\)。

小 Z 在該圖上進行隨機遊走，初始時小 Z 在 \(1\) 號頂點，每一步小 Z 以相等的概率隨機選擇當前頂點的某條邊，沿著這條邊走到下一個頂點，獲得等於這條邊的編號的分數。當小 Z 到達 \(n\) 號頂點時遊走結束，總分為所有獲得的分數之和。 現在，請你對這 \(m\) 條邊進行編號，使得小 Z 獲得的總分的期望值最小。

\(2\leq n \leq 500,1 \leq m \leq 125000\)。

正文：

邊的數量太大，所以我們不能以直接求邊的期望經過次數。那我們就求每個點的。設 \(f_i\)

其中 \(deg_i\) 表示第 \(i\) 個點的度數。

現在我們的問題是如何求 \(f_i\) 了。

容易得到：

如果我們直接 DFS，肯定是過不了的。可以用高斯消元。

首先 \(1\) 號點到 \(n\) 點的概率肯定是 \(1\)，其次是點 \(i\) 的期望次數減去其它點轉移過來的期望次數肯定是 \(0\)

因為到 \(n\) 停止遊走，不能考慮 \(n\)，這樣就能構成 \(n-1\) 個線性方程組，可以開搞高消了。

最後將 \(g_i\) 倒序排序，就能得到答案了。

程式碼：

int n, m;
int deg[N];
double f[N], a[N][N], g[M], ans;

struct edge
{
	int from, to, nxt;
}e[M << 1];
int head[N], tot;

void add (int u, int v)
{
	e[++tot] = (edge){u, v, head[u]}, head[u] = tot;
}

void Gauss(int n)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int mxi = i;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			if(fabs(a[mxi][i]) < fabs(a[j][i])) mxi = j;
		swap(a[mxi], a[i]);
		double inv = a[i][i];
		for (int j = i; j <= n + 1; j++)
			a[i][j] /= inv;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
		{
			inv = a[j][i];
			for (int k = i; k <= n + 1; k++)
				a[j][k] -= a[i][k] * inv;
		}
	} 
	f[n] = a[n][n + 1];
	for (int i = n - 1; i; --i)
	{
		for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
			a[i][n + 1] -= f[j] * a[i][j];
		f[i] = a[i][n + 1] / a[i][i];
	}
}

int main()
{
	scanf ("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int x, y;
		scanf ("%d%d", &x, &y);
		add (x, y), add(y, x);
		deg[x]++, deg[y]++;
	}
	
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		a[i][i] = 1.0;
		for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt)
		{
			int v = e[j].to;
			if (v != n) a[i][v] -= 1.0 / deg[v];
		}
	}
	a[1][n] = 1;
	
	Gauss (n - 1);
	
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		g[i] = f[e[i<<1].from] / deg[e[i<<1].from] + f[e[i<<1].to] / deg[e[i<<1].to];
	sort (g + 1, g + 1 + m);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		ans += g[i] * (m - i + 1.0);
	printf ("%.3lf", ans);
	return 0;
}