C++ 浮點數的儲存與精度

阿新 • • 發佈：2021-01-09

C++浮點數的儲存與精度

先看個例子（如下），我們看下int、float、double在記憶體的二進位制表示

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include<cstdlib>

bool isLittleEndian() {
    int x = 1;
    return *((char*) (&x)) == 1;
}

template<class T>
void printBinary(T d) {
    char* p = (char 
*)&d;
    int sz = sizeof(T); // bytes

    char* buff = new char[sz * 8 + 1];
    buff[sz * 8] = '\0';
    int used = 0;

    for (int n = 0; n < sz; n++) {
        for (int m = 0; m < 8; m++) {
            if ((p[n] >> m) & 1)
                used += sprintf(buff + used, "1");
             
else
                used += sprintf(buff + used, "0");
        }
    }

    if (isLittleEndian()) {
        int a = 0;
        int b = sz * 8 - 1;
        while (a < b) {
            buff[a] ^= buff[b];
            buff[b] ^= buff[a];
            buff[a] ^= buff[b];
            a++;
            b--;
        }
    }

    printf( 
"%s\n", buff);
    delete [] buff;
}

int main() {
    int i = 121;
    int i2 = -4;
    float f = 98.1;
    double d = 98.1;

    printBinary(i);     // 00000000000000000000000001111001
    printBinary(i2);    // 11111111111111111111111111111100
    printBinary(f);     // 01000010110001000011001100110011
    printBinary(d);     // 0100000001011000100001100110011001100110011001100110011001100110
}

對int型別，其記憶體儲存的是二進位制補碼，比較好理解，對float和double型別而言，其二進位制表示怎麼理解呢？

C/C++採用的是IEEE浮點標準，它以“二進位制的科學表示法”表示一個小數：

其中：

(-1)^s表示符號位，當s=0，V為正數；當s=1，V為負數；
M 表示有效數字，1 <= M < 2；
2^E表示指數位。

舉例來說，十進位制的5.0，寫成二進位制是101.0，相當於1.01×2^2。那麼，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

十進位制的-5.0，寫成二進位制是-101.0，相當於-1.01×2^2。那麼，s=1，M=1.01，E=2。

關於 M

注意，由於1≤M<2，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在儲存M時，預設這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只儲存後面的xxxxxx部分。比如儲存1.01的時候，只儲存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以32位浮點數為例，留給M只有23位，將第一位的1捨去以後，等於可以儲存24位有效數字。

關於 E

首先，E為一個無符號整數（unsigned int），如果E為8位，它的取值範圍為0~255；如果E為11位，它的取值範圍為0~2047。

其次，科學計數法中的E是可以出現負數的，所以IEEE 754規定，E的真實值必須再減去一箇中間數，對於8位的E，這個中間數是127；對於11位的E，這個中間數是1023。

比如，2^10的E是10，所以儲存成32位浮點數時，必須儲存成10+127=137，即10001001。

最後，指數E可以再分成三種情況：

E不全為0或不全為1。這時，浮點數就採用上面的規則表示，即指數E的計算值減去127（或1023），得到真實值，再將有效數字M前加上第一位的1。
E全為0。這時，浮點數的指數E等於1-127（或者1-1023），有效數字M不再加上第一位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近於0的很小的數字。
E全為1。這時，如果有效數字M全為0，表示±無窮大（正負取決於符號位s）；如果有效數字M不全為0，表示這個數不是一個數（NaN）。

以float為例，最高的1位是符號位s，接著的8位是指數E，剩下的23位為有效數字M。

如下圖，E=01111100，對應的十進位制為124，124再減去中間數127，結果為-3；

M=01000...，對應的十進位制為2^-2=0.25，還需要加上1，結果為1.25；

該浮點數結果 (-1)⁰* 1.25 * 2^-3 = 0.15625。

以double為例，最高的1位是符號位S，接著的11位是指數E，剩下的52位為有效數字M。

總結如下：

	位元組數	符號位	指數位	尾數位
float	4 bytes	1 bit	8 bit	23 bit
double	8 bytes	1 bit	11 bit	52 bit

範圍：

float的指數範圍為-127 ~ 128，double的範圍是-1023 ~ 1024。

負指數決定了絕對值最小的非零數，正指數決定了絕對值最大的數。也即決定了範圍。

也即float的範圍為 -2^{128 ~}2¹²⁸，double的範圍是 -2^{1024 ~}2¹⁰²⁴。

精度：

float和double的精度是由尾數位決定的。浮點數在記憶體中是按照科學計數法來儲存的，其整數部分始終是一個隱藏著的1。由於他是不變的，因此對精度不會造成影響的。

float精度範圍是：能達到23二進位制位，約為 23 * log₁₀2 = 6.92 個十進位制位；

double的精度範圍是：能達到23二進位制位，約為 52 * log₁₀2 = 15.65 個十進位制位；

OK，最後我們再回到開頭的例子，

float f = 98.1;  // 01000010110001000011001100110011

看下其二進位制，最高位符號位0，中間指數位10000101 的十進位制位133，E=133-127=6；

尾數位10001000011001100110011，對應的十進位制=0.532812，M=1.532812；

最後計算結果 1.532812 * 2⁶ = 98.099998，精度為6位！

這裡我寫了個簡單函式用來解析float的二進位制：

float parseFloat(char* s) {
    int sign = s[0] - '0';
    float M = 0;
    int E = 0;

    for (int n = 1; n <= 8; n++) {
        E = E * 2 + (s[n] - '0');
    }

    for (int n = 9; n <= 31; n++) {
        M += pow(2, 8 - n) * (s[n] - '0');
    }

    printf("sign=%d, E=%d, M=%f\n", sign, E, M);

    return pow((-1), sign) * (M + 1) * pow(2, (E - 127));
}

int main() {
  
    float f = 98.1;
  
    printBinary(f);     // 01000010110001000011001100110011
    
    printf("float = %f\n", parseFloat("01000010110001000011001100110011"));
  
}