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123. 買賣股票的最佳時機 III

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定的股票在第 i 天的價格。

設計一個演算法來計算你所能獲取的最大利潤。你最多可以完成 兩筆 交易。

注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。

示例 1:

輸入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
輸出：6
解釋：在第 4 天（股票價格 = 0）的時候買入，在第 6 天（股票價格 = 3）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 3-0 = 3 。
     隨後，在第 7 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 8
 
 天 （股票價格 = 4）的時候賣出，這筆交易所能獲得利潤 = 4-1 = 3 。

示例 2：

輸入：prices = [1,2,3,4,5]
輸出：4
解釋：在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出, 這筆交易所能獲得利潤 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，之後再將它們賣出。   
     因為這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉之前的股票。

示例 3：

輸入：prices = [7,6,4,3,1] 
輸出：0 
解釋：在這個情況下, 沒有交易完成, 所以最大利潤為 0。
 

示例 4：

輸入：prices = [1]
輸出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

方法一：動態規劃

買賣股票的題都可以用「動態規劃」的思想解決，此題可以複用 188. 買賣股票的最佳時機 IV 的思想，令 k = 2 即可。

因為此題最多交易 兩筆，使用 4 個變數存狀態就行了。「動態規劃」老三步：

狀態定義

• buy1：第一次買入股票時的現金最大值
• sell1：第一次賣出股票時的現金最大值
• buy2：第二次買入股票時的現金最大值
• sell2：第二次賣出股票時的現金最大值

狀態轉移

• buy1 = max(buy1, -prices[i]) // 哪天股票低就買哪天
• sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]) // 哪天賣的錢多，就哪天賣
• buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]) // 同理
• sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]) // 同理

初始化

• buy1 = buy2 = -prices[0]
• sell1 = sell2 = 0

參考程式碼

Java

public int maxProfit(int[] prices) {
    int buy1 = -prices[0], buy2 = -prices[0];
    int sell1 = 0, sell2 = 0;
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);
        sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
        buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);
        sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
    }
    return sell2;
}

Python

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
    buy1 = buy2 = -prices[0]
    sell1 = sell2 = 0
    prices.pop(0)
    for prince in prices:
        buy1 = max(buy1, -prince)
        sell1 = max(sell1, prince + buy1)
        buy2 = max(buy2, sell1 - prince)
        sell2 = max(sell2, buy2 + prince)

    return sell2

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(1)

執行結果