搜尋演算法入門之N皇后問題

阿新 • • 發佈：2021-01-18

技術標籤：演算法演算法 c++

搜尋演算法入門之N皇后問題

題目描述
輸入格式
輸出格式
樣例輸入
樣例輸出
解題思路
AC 程式碼
- 深度優先搜尋（DFS）
- 狀態壓縮

題目描述

在國際象棋中，皇后可以攻擊與他在同一條水平線，垂直線，對角線的棋子，現在有一張 N*N 的棋盤，在上面放置 N 個皇后。有多少種使皇后不能互相攻擊的方案？

輸入格式

輸入一個N（N<=15），表示有一個N*N的棋盤.

輸出格式

輸出只有一行，輸出共有多少種可以擺放皇后的方式

樣例輸入

樣例輸出

解題思路

逐行（列）搜尋。每測試一個位置，就檢查它是否與其他皇后衝突，如果衝突，回溯。
每放置一個皇后，就要記錄所在列，“\”對角線， “/”對角線都不能放置皇后了。

AC 程式碼

深度優先搜尋（DFS）

小白記錄成長，歡迎各路大佬前來教學

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;//n表示這是一個N*N的棋盤
int sum=0;//sum用於計數，記錄可以有多少种放置皇后的方法
bool column[20],cross1[50],cross2[50]; 
//column用於標記列，cross1用於標記主對角線，cross2用於標記副對角線
int pos[20];//pos是放置棋子的位置
void dfs(int row)
{
    //當row與n相同時，說明已經放置到了最後一行，此時計數器++，並且回溯返回上一層
    if(row==n)
    {
        sum++;
        return ;
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(!(column[i] || cross1[row-i+n] || cross2[row+i]))//判斷是否可以放置皇后
        { 

            //對皇后已經控制的行和列進行標記
            column[i]=cross1[row-i+n]=cross2[row+i]=true;
            pos[row]=i;
            dfs(row+1);
            //解除標記，這樣才能在新位置上放置皇后
            column[i]=cross1[row-i+n]=cross2[row+i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    //首先將列，主對角線，副對角線的標記全部標位false，表示起始狀態下所有位置都沒有放置皇后
    memset(column,false,sizeof(column));
    memset(cross1,false,sizeof(cross1));
    memset(cross2,false,sizeof(cross2));
    dfs(0);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}

狀態壓縮

把狀態放在一個4位元組的int整型變數中，並且使用位運算————這樣，速度會比普通演算法的快很多

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

//sum用來記錄皇后放置成功的不同佈局數；upperlim用來標記所有列都已經放置好了皇后
int n, sum=0, upperlim=1;
void test(long row ,long ld,long rd)
{
    if(row != upperlim)
    {
        /*
            row，ld，rd進行“或”運算，求得所有可以放置皇后的列，對應位位0.
            然後再取反後“與”上全1的數，來求得當前所有可以放置皇后的位置，對應列改為1.
            也就是求取當前哪些列可以放置皇后。
        */
        long pos=upperlim & ~(row | ld | rd);
        while(pos)// 0 -- 皇后沒有位置可放，直接回溯
        {
            /*
                拷貝 pos 最右邊的 1 為 bit ，其餘 bit 置為 0
                也就是取得可以放皇后的最右邊的列
            */
            long p = pos & -pos;
            /*
                將 pos 最右邊的 1 的 bit 清零。
                也就是為獲取下一次的最右可用列使用作準備
                程式將來會回溯到這個位置繼續試探。
            */
            pos -= p;
            /*
                row + p , 將當前列置為 1 ，表示記錄這次皇后放置的列
                (ld + p) << 1, 表示當前皇后左邊相鄰的列不允許下一個皇后放置
                (ld + p) >> 1, 表示當前皇后右邊相鄰的列不允許下一個皇后放置
            */
            test(row + p, ( ld + p ) << 1 ,( ld + p )>>1 );
            /*
                此處的位移操作實際上是記錄對角線上的限制，只是因為問題都歸化到
                一行網格上來解決，所以表示為列的限制就可以了。顯然。隨著移位在
                每次選擇列之前進行，原來 N * N 網格中某個已放置的皇后鎮對其對角
                線上產生的限制都被記錄了下來
            */
        }
    }
    else
        sum++; // row 的所有位都為1，即找到了一個成功的佈局，回溯。
}
int main()
{
    cin>>n;
    // n 皇后只需要 N 位儲存，N列中某列有皇后則對應的 bit 置為 1
    upperlim = (upperlim << n+1) - 1;
    test(0,0,0);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}