題目描述:

　　N 皇后是回溯演算法經典問題之一。問題如下：請在一個 n×n 的正方形盤面上佈置 n 名皇后，因為每一名皇后都可以自上下左右斜方向攻擊，所以需保證每一行、每一列和每一條斜線上都只有一名皇后。

題目分析：

　　在 N 皇后問題中，回溯演算法思路是每一次只佈置一個皇后，如果盤面可行，就繼續佈置下一個皇后。一旦盤面陷入死局，就返回一步，調整上一個皇后的位置。重複以上步驟，如果解存在，我們一定能夠找到它。可以看到，我們在重複“前進—後退—前進—後退”這一過程。問題是，我們不知道一共需要重複這個過程多少次，也不能提前知道 n 是多少，更不知道每一次後退時需要後退幾行，因此我們不能利用 for 迴圈和 while 迴圈來實現這個演算法。因此我們需要利用遞迴來實現程式碼結構。邏輯如下：當方法佈置完當前行的皇后，就讓方法呼叫自己去佈置下一行的皇后。當盤面變成絕境的時候，就從當前方法跳出來，返回到上一行，換掉上一行的皇后再繼續。

　　我們定義 NQueens(n) 方法，它負責輸出所有成立的 n×n 盤面。其中 1 代表皇后，0 代表空格。

程式碼：

def NQueens(n):                             #輸出所有成立的n·n盤面
    cols = [0 for _ in range(n)]            #每一行皇后的縱座標
    res = []                                #結果列表
    def checkBoard(rowIndex):               #檢查盤面是否成立,rowIndex是當前行數
        for
 
 i in range(rowIndex):
            if cols[i]==cols[rowIndex]:                     #檢查豎線
                return False
            if abs(cols[i]-cols[rowIndex]) == rowIndex-i:   #檢查斜線
                return False
        return True

    def helper(rowIndex):               #佈置第rowIndex行到最後一行的皇后
        if
 
 rowIndex==n:                 #邊界條件
            board = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
            for i in range(n):
                board[i][cols[i]] = 1
            res.append(board)             #把當前盤面加入結果列表
            return                        #返回
        for i in range(n):                #依次嘗試當前行的空格
            cols[rowIndex] = i
            if checkBoard(rowIndex):      #檢查當前盤面
                helper(rowIndex+1)        #進入下一行
    helper(0)               #從第1行開始
    return res

print(NQueens(4))

程式碼分析：

　　在 NQueens() 方法中，我們會定義 helper(x) 方法幫助實現遞迴結構。helper(x) 方法負責佈置第 x 行到最後一行的皇后，它在佈置完當前行的皇后之後會呼叫自己，接著佈置剩餘行的皇后。遞迴的邊界條件是當 x 等於 n 時，也就是盤面已經完整的時候，helper() 方法會把當前的盤面加進結果列表。

　　在解題過程中，我們需要一個變數用於儲存當前盤面解，我們會動態地修改這個變數直到盤面滿足條件。我們有兩種儲存方式，第一個是宣告一個 n×n 的二維陣列，初始是全部為 0，在解題過程中放置 1。第二種儲存方式是利用一個長度為 n 的一維陣列，其中第 i 個數值代表第 i 行皇后的座標。比如 [1,0,2,3] 所表示的與上面的二維陣列一致。因為兩種方式儲存的資訊量一樣，但是第二個選項佔用更少的空間，所以我們優先選擇第二個選項。

　　在 NQueens() 方法中我們定義了兩個子方法：checkBoard() 和 helper()。我們直接呼叫 helper(0)，讓 helper() 方法幫我們解決問題。最後直接輸出 res 答案集合。
首先注意要在呼叫 checkBoard() 和 helper() 前定義它們，否則程式會報錯。另外一種寫法是將這兩個方法放在 NQueens() 外面。但是在方法中定義子方法的好處是我們可以直接呼叫 cols，n，res這些存在於 NQueens() 方法範圍內的變數。如果把子方法定義在 NQueens() 外面，這些變數必須作為引數傳入子方法，寫起來相對比較煩瑣。

　　我們宣告以下兩個變數的用途如下：

• cols：這是我們當前的題解，第 i 個數值代表第i行皇后的座標。比如 [1,0,2,4] 代表第一行的皇后在第二個空格，第二行的皇后在第一個空格，以此類推。注意座標總是需要減 1；
• rowIndex：我們所處的當前行的行數。我們從第 1 行開始時，rowIndex 等於 0，當 helper(0) 呼叫 helper(1) 後，我們進入到了第 2 行，所以 rowIndex 在那時等於 1。

　　在 checkBoard() 方法裡，我們做了兩個檢查，第一個是看每一列是不是隻有一個皇后，第二個是看每一條斜線上是不是隻有一個皇后。因為我們每多新增一名皇后時都會做一遍檢查，所以我們在添加當前皇后前，盤面肯定是成立的。因此，我們只需要看一下當前皇后對盤面的影響是否成立。也就是說，我們只需要檢查當前皇后的縱座標是不是獨一無二的，以及當前皇后的兩條斜線上有沒有其他皇后就可以。斜線檢查利用了縱座標差和橫座標差的絕對值。
　　helper() 方法通過 for 迴圈依次嘗試當前行的 n 個空格。如果把皇后放在第一個空格里成立，它會直接呼叫自己去往下一行（rowIndex+1 行），但是如果當前空格不成立，它會嘗試下一個空格。
如果 n 個空格都不成立，它會後退到上一行的 for 迴圈裡，繼續嘗試上一行的下一個空格。比如，如果第三行的 n 個空格都不成立，helper(2) 就會返回 helper(1)，把第二個皇后換到第二行的下一個空格。