一.問題描述

N*N棋盤上放置N個皇后使得每個皇后互不受攻擊. 即任二皇后不能位於同行同列和同一斜線上.
如四皇后問題的兩個解:

二.解題思路

將棋盤從左至右,從上到下編號為1,...,n,皇后編號為1,...,n.
設解為(x1, ..., xn) , xi為皇后i的列號,且xi位於第i行.
解空間:E={ (x1,..., xn) | xi∈Si, i=1,...,4}, Si={1, ..., 4},1 <= i <= n

解空間為排列樹? 是的!N個皇后在N*N的棋盤中一共有C(N^2, N)种放置情況,我們需要找到其中滿足條件的排列情況.

其約束集合D為:

• xi ≠ xj ,保證皇后i, j不在同一行中
• xi - i ≠ xj - j ,保證皇后i, j不在同一斜線上
• xi + i ≠ xj +j ,保證皇后i, j不在同一斜線上

後兩條總結一下就是 abs(i-j) ≠ abs(x[i] - x[j])

用回溯法解N後問題時,用完全n叉樹表示解空間.可行性約束Place減去不滿足行,列和斜線約束的子樹.

具體程式碼如下:

// N皇后問題回溯演算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
class Queen
{
    friend int NQueen(int) ;
    private:
        bool Place(int k);
        void Print();
        void Backtrack(int t);
        int n;  //皇后個數
        int *x; //當前解
        long sum;   //當前已經找到的可行方案數
};
void Queen::Print()
{
    cout<<"放置方案為: ";
    for(int i=1; i<=n; i++) cout<<x[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
bool Queen::Place(int k)  //放置第k行
{
    for(int j=1; j<k; j++)  //第j行
    {
        if(abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]) || (x[j]==x[k]))  //不在同一斜線(左斜線右斜線, 不在同一列)
            return false;
    }
    return true;
}
void Queen::Backtrack(int t)  //t表示第t個皇后,她
{
    if(t > n)
    {
        sum++;
        Print();
    }
    else
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)  //遍歷第t行每一列
        {
            x[t] = i;
            if(Place(t))  //如果第t行能夠放置
            {
                Backtrack(t+1);
            }
        }
    }
}

int NQueen(int n)
{
    Queen X;
    //初始化X
    X.n = n;
    X.sum = 0;
    int *p = new int[n+1];
    for(int i=0; i<=n; i++) p[i] = 0;
    X.x = p;
    X.Backtrack(1);
    X.Print();
    delete [] p;
    return X.sum;
}
int main()
{
    cout<<"請輸入皇后個數: ";
    int n;
    while(cin>>n && n)
    {
        int ans = NQueen(n);
        cout<<"放置方案數: "<<ans<<endl;
        cout<<"請輸入皇后個數: ";
    }
    system("pause");
    return 0;
}
 

執行結果如下:

參考畢方明老師《演算法設計與分析》課件.
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