連結：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/

題目

給定正整數n，找到若干個完全平方數（比如1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

給你一個整數 n ，返回和為 n 的完全平方數的 最少數量 。

完全平方數 是一個整數，其值等於另一個整數的平方；換句話說，其值等於一個整數自乘的積。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方數，而 3 和 11 不是。

用例

示例1：

輸入：n = 12
輸出：3
解釋：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

輸入：n = 13
輸出：2
解釋：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 104

思路

方法1
完全揹包
題目可以理解為將 1，4，9···等完全平方數作為物品放入 容量為n的揹包中 其中每個物品都可以用無限次 求塞滿揹包時物品數量最少的情況
我做的時候先遍歷物品再遍歷容量
由於物品中有1的存在 ，所以任意大小揹包必能被填滿（全用1）
設定大小為n+1的dp陣列，初始化dp[i]=i
轉移方程即為 dp[j]=min(dp[j],dp[j-ii]+1) j>=ii

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int s=sqrt(n);
        vector<int>dp(n+1);
        for(int i=0;i<n+1;++i)
        {
            dp[i]=i;
        }

        for(int i=2;i*i<=n;++i)
        {
            int p=i*i;
            for(int j=1;j<n+1;++j)
            {
                if(j>=p)
                {
                    dp[j]=min(dp[j-p]+1,dp[j]);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
 

實際上也可以先遍歷容量再遍歷物品 取每個容量下啊的最小值

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int minn = INT_MAX;
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                minn = min(minn, f[i - j * j]);
            }
            f[i] = minn + 1;
        }
        return f[n];
    }
};
 

數學方法
四平方和問題 n = (4^a)*(8b+7)

1. 任何正整數都可以拆分成不超過4個數的平方和 ---> 答案只可能是1,2,3,4
2. 如果一個數最少可以拆成4個數的平方和，則這個數還滿足 n = (4^a)*(8b+7) ---> 因此可以先看這個數是否滿足上述公式，如果不滿足，答案就是1,2,3了
3. 如果這個數本來就是某個數的平方，那麼答案就是1，否則答案就只剩2,3了
4. 如果答案是2，即n=a^2+b2，那麼我們可以列舉a，來驗證，如果驗證通過則答案是2
5. 只能是3

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int x=n,y=sqrt(n);
        if(y*y==n)
            return 1;
        while(x%4==0)
            x/=4;
        if(x%8==7)
            return 4;
        for(int i=1;i<=y;++i)//判斷是2還是3 判斷n減去一個平方數後是否還是平方數
        {
            int j=n-i*i;
            int p=sqrt(j);
            if(p*p==j)
                return 2;
        }
        return 3;
    }
};