python 浮點數相加相相除_來聊聊Python裡的“數”

阿新 • • 發佈：2021-02-12

Python中，數，用各種形式表示，不同形式的數有各自的用途。

整數

整數，令人驚歎於它的簡單。兩個整數相除，例如4/3，得到一個浮點數，並且(4/3)*3的結果也是浮點數4.0。即便你沒有定義浮點數，在進行除法運算的時候，它會自動出現。

浮點數

浮點數不是一般意義的數。按照數學上的規定，數應該遵循如下原則：減法是加法的逆運算，加法結合律，等等。

例如：

>>> 1 + 2 - 2 - 10>>> 0.1 + 0.2 - 0.2 - 0.12.7755575615628914e-17

兩個數相加，再分別減去它們，上述居然出現了不同的結果。

它們也不會遵循結合律：a + (b + c) = (a + b) + c

>>> a = 2**-53>>> (a + a) + 1 == a + (a + 1)False

以上僅僅是浮點數運算中存在的兩個“小問題”，還不令你驚訝嗎？此處不便將浮點數各種出乎意料的運算一一展現。

分數

很多看似簡單的程式，遇到分數，就會出問題，比如運算時間暴增，演算法的複雜度加倍。遇到分數的時候，演算法時間不是跟輸入成正比，而是指數增長。

如果時間足夠長，記憶體爆掉也是常見的。

加法就是其中一個典型例子

>>> print(set(type(p) for p in primes))>>> one = fractions.Fraction(1)>>> before = datetime.now()>>> res = sum(one/p for p in primes[:10000])>>> after = datetime.now()>>> print("It took", after-before)>>> print("Size of output", len(str(res)))>>> print("Approximate value", float(res)){}It took 0:01:16.033260Size of output 90676Approximate value 2.7092582487972945

這段程式，計算了一些素數的倒數的和。在膝上型電腦上，10000個這樣的數相加，要1分鐘，最終輸出結果的大小超過了90K。

對比著，執行浮點數運算，效能更好。

>>> print(set(type(p) for p in primes))>>> before = datetime.now()>>> res = sum(1/p for p in primes[:10000])>>> after = datetime.now()>>> print("It took", after-before)>>> print("Size of output", len(str(res)))>>> print("Approximate value", float(res)){}It took 0:00:00.000480Size of output 17Approximate value 2.709258248797317

這次執行時間小於1毫秒，並且，者還可能是因為用datetime測量產生的誤差，快了10000倍。而且輸出結果的大小僅有17位元，下降了1000多倍。然而，計算結果有誤差。

Approximate value 2.7092582487972945Approximate value 2.709258248797317                    1234567891234

誤差低於 10的-14次方，這就如同將火箭發射月球上偏差了1毫米，用浮點數計算得到的結果足夠精確，並且效率更高。

對此，一般的觀點是：Python進行分數運算很慢。對此，Python可以承擔10倍的責任，但不是10000倍。有一個第三方模組，quicktions，用Cython執行分數的運算。

用quicktions，真的“很快”。在我的膝上型電腦上，上面那個程式的時間，從1分16秒，縮短到1分15秒。

問題在於程式本身，在程式中，我精心選擇了一種輸入方案，以素數作為分母進行分數相加，這本來就是一種很壞的情況。

小數

小數在財務中用途最廣，最無聊的是居然以法律的方式規定了小數的形式。然而，Python中所有的小數點運算，都有上下文精確度問題，對此，可以用專門的模組解決。

>>> getcontext().prec = 6>>> Decimal(1) / Decimal(7)Decimal('0.142857')>>> getcontext().prec = 28>>> Decimal(1) / Decimal(7)Decimal('0.1428571428571428571428571429')

在實際專案中，程式碼中設定精度的位置和進行計算的位置可能間隔幾百行，計算可以在一個函式中，也可以在另外一個檔案。

最安全的方法是使用localcontext：

>>> getcontext().prec = 6>>> # 6853 lines elided... with localcontext() as ctx:...     ctx.prec = 10...     Decimal(1) / Decimal(7)...Decimal('0.1428571429')

只要你認真地用localcontext，小數運算不會出問題。