技術標籤：c++演算法

高效位運算的妙用

文章目錄

• 高效位運算的妙用
• • 引言
  • 位運算子
  • 二進位制補碼運算公式
  • 應用
  • • 乘法
    • 求餘數
    • 判斷奇偶性
    • 相反數
    • 求整數的絕對值
    • 交換整數
    • 判斷一個數是否是2的冪
    • 求平均數
    • 掩碼
    • 集合的表示

引言

計算機的儲存器是採用二進位制表示資料，直接用位運算直接處理記憶體，可以高效處理問題，提高問題解決的效率。

位運算子

位運算子有&（按位與），|（按位或），^（按位或與），<<(左移），>>(右移)，~（按位取反）

二進位制補碼運算公式

-x = ~x + 1 = ~(x-1)
~x = -x-1
-(~x) = x+1
~(-x) = x-1

應用

乘法

對於一個整數，左移一位相當於乘以2；右移一位相當除以2；

求餘數

位運算可以求2的冪的餘數，示例如下

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a,b;
    while(cin>>a&&cin>>b){
        cout<<(a&(b-1))<<" "<<a%b;
    }
}

執行結果

求餘數時形式為a&(b-1)

判斷奇偶性

判斷一個整數是奇數還是偶數，常規方法為a%2。這裡我們可以用上面介紹的求餘數的方法，即用a&1來判斷

相反數

x的相反數為~x+1

求整數的絕對值

這裡有兩種形式

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
   int x;
   while(cin>>x){
       int y=x>>31;
       cout<<(x^y)-y<<" "<<((x+y)^y)<<" "<<abs(x);
   }
}

執行結果

交換整數

void swap(int x , int y)
{
    x ^= y;
    y ^= x;
    x ^= y;
}

判斷一個數是否是2的冪

這裡我們用的是上面求餘數的方法，判斷的表示式為：
((x&(x-1))==0)&&(x!=0)

求平均數

對於兩個整數x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，這樣有風險，因為可能會產生溢位，x+y 可能會大於INT_MAX，但是我們知道它們的平均值是肯定不會溢位的，平均值我們可以這樣表示
((x&y)+(x^y))>>1

掩碼

• 取int型變數a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1
• 將int型變數a的第k位清0，即a=a&~(1<<k)
• 將int型變數a的第k位置1， 即a=a|(1<<k)
• int型變數迴圈左移k次，即a=a<<k|a>>16-k (設sizeof(int)=16)
• int型變數a迴圈右移k次，即a=a>>k|a<<16-k (設sizeof(int)=16)

集合的表示

並集 A|B
交集 A&B
差 A&（~（A&B））
包含 A|B==B
補集 ~A
屬於 1<<(x-1)&A ==1<<(x-1)
空集 A ==0