一、資料結構和演算法解決的是“快”和“省”的問題，即如何讓程式碼執行的更快，如何讓程式碼更節省儲存空間。執行效率是演算法一個非常重要的考量指標。如何衡量演算法的執行效率？就需要時間、空間複雜度分析。

二、程式碼跑一遍，通過統計、監控，就能得到演算法執行的時間和佔用的記憶體大小，這種叫做事後統計法。事後統計法有侷限性，測試結果依賴測試環境、受資料規模影響大。所以我們需要一個不用具體測試資料,，就可以粗略估計演算法的執行效率的方法，即時間、空間複雜度分析方法。

三、大O複雜度表示法

1  int cal(int n) {
2    int sum = 0;
3    int i = 1;
4
 
    for (; i <= n; ++i) {
5      sum = sum + i;
6    }
7    return sum;
8  }

假設每行程式碼的執行時間都一樣，為unit_time。在這個假設基礎上，這段程式碼的總執行時間：第2、3行程式碼分別需要1個unit_time的執行時間，第4、5行都運行了n遍，所以需要2n*unit_time的執行時間，這段程式碼總的執行時間就是(2n+2)*unit_time。可以看出，所有程式碼的執行時間T(n)與每行程式碼的執行次數成正比。

 1  int cal(int n) {
 2    int sum = 0;
 
 3    int i = 1;
 4    int j = 1;
 5    for (; i <= n; ++i) {
 6      j = 1;
 7      for (; j <= n; ++j) {
 8        sum = sum +  i * j;
 9      }
10    }
11  }

這段程式碼總的執行時間是T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。

所有程式碼的執行時間 T(n) 與每行程式碼的執行次數 f(n) 成正比。我們可以把這個規律總結成一個公式。注意，大 O 就登場了！

具體解釋一下這個公式。其中，T(n) 我們已經講過了，它表示程式碼執行的時間；n 表示資料規模的大小；f(n) 表示每行程式碼執行的次數總和。因為這是一個公式，所以用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示程式碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表示式成正比。

所以，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。這就是大 O 時間複雜度表示法。大 O 時間複雜度實際上並不具體表示程式碼真正的執行時間，而是表示程式碼執行時間隨資料規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。

當 n 很大時，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了，如果用大 O 表示法表示剛講的那兩段程式碼的時間複雜度，就可以記為：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。

四、時間複雜度分析

1.只關注迴圈執行次數最多的一段程式碼

我剛才說了，大 O 這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。我們通常會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只需要記錄一個最大階的量級就可以了。所以，我們在分析一個演算法、一段程式碼的時間複雜度的時候，也只關注迴圈執行次數最多的那一段程式碼就可以了。這段核心程式碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析程式碼的時間複雜度。

示例1中，迴圈執行次數最多的是第 4、5 行程式碼，所以這塊程式碼要重點分析。前面我們也講過，這兩行程式碼被執行了 n 次，所以總的時間複雜度就是 O(n)。

2.加法法則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度

 1 int cal(int n) {
 2    int sum_1 = 0;
 3    int p = 1;
 4    for (; p < 100; ++p) {
 5      sum_1 = sum_1 + p;
 6    }
 7 
 8    int sum_2 = 0;
 9    int q = 1;
10    for (; q < n; ++q) {
11      sum_2 = sum_2 + q;
12    }
13  
14    int sum_3 = 0;
15    int i = 1;
16    int j = 1;
17    for (; i <= n; ++i) {
18      j = 1; 
19      for (; j <= n; ++j) {
20        sum_3 = sum_3 +  i * j;
21      }
22    }
23  
24    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
25  }

這個程式碼分為三部分，分別是求 sum_1、sum_2、sum_3。我們可以分別分析每一部分的時間複雜度，然後把它們放到一塊兒，再取一個量級最大的作為整段程式碼的複雜度。

第一段的時間複雜度是多少呢？這段程式碼迴圈執行了 100 次，所以是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關。

這裡我要再強調一下，即便這段程式碼迴圈 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就可以忽略。儘管對程式碼的執行時間會有很大影響，但是回到時間複雜度的概念來說，它表示的是一個演算法執行效率與資料規模增長的變化趨勢，所以不管常量的執行時間多大，我們都可以忽略掉。因為它本身對增長趨勢並沒有影響。

那第二段程式碼和第三段程式碼的時間複雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)，你應該能容易就分析出來，我就不囉嗦了。

綜合這三段程式碼的時間複雜度，我們取其中最大的量級。所以，整段程式碼的時間複雜度就為 O(n2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段程式碼的時間複雜度。

那我們將這個規律抽象成公式就是：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3.乘法法則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘積

公式：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是說，假設 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落實到具體的程式碼上，我們可以把乘法法則看成是巢狀迴圈，我舉個例子給你解釋一下。

 1 int cal(int n) {
 2    int ret = 0; 
 3    int i = 1;
 4    for (; i < n; ++i) {
 5      ret = ret + f(i);
 6    } 
 7  } 
 8  
 9  int f(int n) {
10   int sum = 0;
11   int i = 1;
12   for (; i < n; ++i) {
13     sum = sum + i;
14   } 
15   return sum;
16  }

我們單獨看 cal() 函式。假設 f() 只是一個普通的操作，那第 4～6 行的時間複雜度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函式本身不是一個簡單的操作，它的時間複雜度是 T2(n) = O(n)，所以，整個 cal() 函式的時間複雜度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

五、幾種常見時間複雜度例項分析

對於剛羅列的複雜度量級，我們可以粗略地分為兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2n) 和 O(n!)。

我們把時間複雜度為非多項式量級的演算法問題叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非確定多項式）問題。

當資料規模 n 越來越大時，非多項式量級演算法的執行時間會急劇增加，求解問題的執行時間會無限增長。所以，非多項式時間複雜度的演算法其實是非常低效的演算法。因此，關於 NP 時間複雜度我就不展開講了。我們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

1.O(1)：常數階時間複雜度

O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行程式碼。比如這段程式碼，即便有 3 行，它的時間複雜度也是 O(1），而不是 O(3)。

1  int i = 8;
2  int j = 6;
3  int sum = i + j;

只要程式碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣程式碼的時間複雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要演算法中不存在迴圈語句、遞迴語句，即使有成千上萬行的程式碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)：對數階時間複雜度

1  i=1;
2  while (i <= n)  {
3    i = i * 2;
4  }

根據我們前面講的複雜度分析方法，第三行程式碼是迴圈執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行程式碼被執行了多少次，就能知道整段程式碼的時間複雜度。

從程式碼中可以看出，變數 i 的值從 1 開始取，每迴圈一次就乘以 2。當大於 n 時，迴圈結束。還記得我們高中學過的等比數列嗎？實際上，變數 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

所以，我們只要知道 x 值是多少，就知道這行程式碼執行的次數了。通過 2x=n 求解 x 這個問題我們想高中應該就學過了，我就不多說了。x=log2n，所以，這段程式碼的時間複雜度就是 O(log2n)。

現在，我把程式碼稍微改下，你再看看，這段程式碼的時間複雜度是多少？

1  i=1;
2  while (i <= n)  {
3    i = i * 3;
4  }

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段程式碼的時間複雜度為 O(log3n)。

實際上，不管是以 2 為底、以 3 為底，還是以 10 為底，我們可以把所有對數階的時間複雜度都記為 O(logn)。為什麼呢？

我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log3n 就等於 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一個常量。基於我們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，可以忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等於 O(log3n)。因此，在對數階時間複雜度的表示方法裡，我們忽略對數的“底”，統一表示為 O(logn)。

如果你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段程式碼的時間複雜度是 O(logn)，我們迴圈執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一種非常常見的演算法時間複雜度。比如，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

我們再來講一種跟前面都不一樣的時間複雜度，程式碼的複雜度由兩個資料的規模來決定。老規矩，先看程式碼！

 1 int cal(int m, int n) {
 2   int sum_1 = 0;
 3   int i = 1;
 4   for (; i < m; ++i) {
 5     sum_1 = sum_1 + i;
 6   }
 7 
 8   int sum_2 = 0;
 9   int j = 1;
10   for (; j < n; ++j) {
11     sum_2 = sum_2 + j;
12   }
13 
14   return sum_1 + sum_2;
15 }

從程式碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個資料規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面程式碼的時間複雜度就是 O(m+n)。

針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改為：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

六、空間複雜度分析

前面，咱們花了很長時間講大 O 表示法和時間複雜度分析，理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就非常簡單了。

前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示演算法的執行時間與資料規模之間的增長關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示演算法的儲存空間與資料規模之間的增長關係。

我還是拿具體的例子來給你說明。（這段程式碼有點“傻”，一般沒人會這麼寫，我這麼寫只是為了方便給你解釋。）

 1 void print(int n) {
 2   int i = 0;
 3   int[] a = new int[n];
 4   for (i; i <n; ++i) {
 5     a[i] = i * i;
 6   }
 7 
 8   for (i = n-1; i >= 0; --i) {
 9     print out a[i]
10   }
11 }

跟時間複雜度分析一樣，我們可以看到，第 2 行程式碼中，我們申請了一個空間儲存變數 i，但是它是常量階的，跟資料規模 n 沒有關係，所以我們可以忽略。第 3 行申請了一個大小為 n 的 int 型別陣列，除此之外，剩下的程式碼都沒有佔用更多的空間，所以整段程式碼的空間複雜度就是 O(n)。

我們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。而且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單很多。所以，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。