前言

在一些有N個元素的集合應用問題中，我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合，然後按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併，其間要反覆查詢一個元素在哪個集合中。
這一類問題其特點是看似並不複雜，但資料量極大，若用正常的資料結構來描述的話，往往在空間上過大，計算機無法承受；即使在空間上勉強通過，執行的時間複雜度也極高，根本就不可能在規定的執行時間（1～3秒）內計算出試題需要的結果，只能用並查集來描述。

定義

並查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一種樹型的資料結構，用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合併及查詢問題。常常在使用中以森林來表示。集就是讓每個元素構成一個單元素的集合，也就是按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併。

將編號分別為1…N的N個物件劃分為不相交集合，在每個集合中，選擇其中某個元素代表所在集合。

常見兩種操作：

• 合併兩個集合
• 查詢某元素屬於哪個集合

用編號最小的元素標記所在集合；定義一個數組set[1...n]，其中set[i]表示元素i 所在的集合；

演算法實現

查詢

時間複雜度：\(O(1)\)

find1(x)
{
    return set[x];
}

合併

時間複雜度：\(O(n)\)

Merge1(a,b)
{
    i = min(a,b);
    j = max(a,b);
    for (k = 1; k <= N; k++) {
        if (set[k] == j)
            set[k] = i;
    }
}
 

對於合併操作，必須搜尋全部元素！有沒有可以改進的地方呢？

演算法的優化

使用樹結構

每個集合用一棵“有根樹”表示，定義陣列set[1...n]

• set[i] = i，則 i 表示本集合，並且是集合所對應樹的根
• set[i] = j，j<>i，則 j 是 i 的父節點
  

查詢

時間複雜度（最壞）：\(O(n)\)

find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合併

時間複雜度：\(O(1)\)

merge2(a, b)
{
    if (a<b)
       set[b] = a;
    else
       set[a] = b;
}
 

避免最壞情況

方法：將深度小的樹合併到深度大的樹
實現：假設兩棵樹的深度分別為h1和h2, 合併後的樹的高度為h，則

效果：任意順序的合併操作以後，包含k個節點的樹的最大高度不超過\(\log_2{k}\)

查詢

時間複雜度：\(O(\log_2{n})\)

find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合併

時間複雜度：\(O(1)\)

merge3(a,b)
{
    if (height(a) == height(b)) {
       height(a) = height(a) + 1;
       set[b] = a;
    } else if (height(a) < height(b)) {
       set[a] = b;
    } else {
       set[b] = a;
    }
}

路徑壓縮

思想：每次查詢的時候，如果路徑較長，則修改資訊，以便下次查詢的時候速度更快。

步驟:

1. 找到根結點
2. 修改查詢路徑上的所有節點，將它們都指向根結點

路徑壓縮示意圖:

查詢

find3(x)
{
      r = x;
      while (set[r] != r) //迴圈結束，則找到根節點
          r = set[r];
      i = x;
      while (i != r) //本迴圈修改查詢路徑中所有節點
      {
          j = set[i];
          set[i] = r;
          i = j;
      }
}

hdu1232

#include<stdio.h>
int x[1005];
int min(int a,int b);
int max(int a,int b);
void xs(int a,int b);
int fine(int a);
int main()
{
    int n,m,i,a,b;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int sum = -1;
        scanf("%d",&m);
        for(i=1;i<=n;i++) x[i]=i;   //首先把各自的父節點設為自身
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            xs(a,b);  //合併兩個集合
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(x[i]==i) sum++;    //算出（最後不同集合的個數-1）即為所求
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}
int min(int a,int b)
{
    return a<b ? a : b;
}
int max(int a,int b)
{
    return a>b ? a : b;
}
int fine(int a)
{
    if(x[a]==a) return a;
    else return fine(x[a]);
}
void xs(int a,int b)
{
    x[max(fine(a),fine(b))] = min(fine(a),fine(b));
}