6 最小覆蓋矩形（Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels）
1 題目
最小覆蓋矩形（Smallest Rectangle Enclosing Black Pixels）
lintcode：題號——600，難度——hard
2 描述
一個由二進位制矩陣表示的圖，0 表示白色畫素點，1 表示黑色畫素點。黑色畫素點是聯通的，即只有一塊黑色區域。畫素是水平和豎直連線的，給一個黑色畫素點的座標 (x, y) ，返回囊括所有黑色畫素點的矩陣的最小面積。
樣例1：
輸入：["0010","0110","0100"]，x=0，y=2
輸出：6
解釋：矩陣左上角座標是(0, 1), 右下角的座標是(2, 2)
樣例2：
輸入：["1110","1100","0000","0000"], x = 0, y = 1
輸出：6
解釋：矩陣左上角座標是(0, 0), 右下角座標是(1, 3)
3 思路
從答案反向找思路，要得到面積，需要橫向跨度和縱向跨度，橫向需要分別找到最左邊和最右邊，縱向需要分別找到最上面和最下面，題中給出了一個種子點，即其中一個黑子所在的位置，從種子點分別向上、下、左、右四個方向看，例如向左的情況，需要找到最左端的黑子，而最左端的黑子不一定與種子點在同一行，所以我們要考慮整個左半矩陣圖，由於只要找到最左端的橫向座標即可，不用關心列座標，可以將左半矩陣圖縱向壓縮排同一行，這樣只要該列存在任何黑子，則將壓縮後形成的點標記為黑，因為所有的黑子是聯通的，最後向左看的情況一定會形成“oooxxx”形式的數列，使用二分法即可找到最左端邊緣。
按照相同的思路可以找到其他三個方向的邊緣，然後得到橫縱跨度，再得到面積。
- 考慮左半矩陣，以每列是否存在黑子為條件，二分查詢最左邊緣；
- 分別得到四個方向的邊緣；
- 計算橫縱跨度，得到面積。
擴充套件。
其實題目中給出的種子點有點奇怪，按照常理來判斷給不給這個種子點的位置，都是能得到答案的，題中直接給出了，簡化了這一步。題目也可以使用廣度優先搜尋來做，可以思考一下。
3.1 圖解
graph TD X[0表示白子,1和X表示黑子,X為種子點<br/>'0, 0, 0, 0, 1, 0, 0'<br/>'0, 1, 1, 1, 1, 0, 0'<br/>'0, 0, 0, 1, X, 0, 0'<br/>'0, 0, 1, 1, 1, 1, 0'<br/>'0, 0, 0, 0, 0, 0, 0'] X -- 左半矩陣 --> A['0, 0, 0, 0, 1'<br/>'0, 1, 1, 1, 1'<br/>'0, 0, 0, 1, X'<br/>'0, 0, 1, 1, 1'<br/>'0, 0, 0, 0, 0'] X -- 上半矩陣 --> B['0, 0, 0, 0, 1, 0, 0'<br/>'0, 1, 1, 1, 1, 0, 0'<br/>'0, 0, 0, 1, X, 0, 0'] X -- 右半矩陣 --> C['1, 0, 0'<br/>'1, 0, 0'<br/>'X, 0, 0'<br/>'1, 1, 0'<br/>'0, 0, 0'] X -- 下半矩陣 --> D['0, 0, 0, 1, X, 0, 0'<br/>'0, 0, 1, 1, 1, 1, 0'<br/>'0, 0, 0, 0, 0, 0, 0'] A --> A0[列中出現一個黑子1,則壓縮後的點為1] A0 -- 分列 --> A1[0<br/>0<br/>0<br/>0<br/>0] A0 -- 分列 --> A2[0<br/>1<br/>0<br/>0<br/>0] A0 -- 分列 --> A3[0<br/>1<br/>0<br/>1<br/>0] A0 -- 分列 --> A4[0<br/>1<br/>1<br/>1<br/>0] A0 -- 分列 --> A5[1<br/>1<br/>X<br/>1<br/>0] A1 -- 壓縮 --> A11[0] A2 -- 壓縮 --> A21[1] A3 -- 壓縮 --> A31[1] A4 -- 壓縮 --> A41[1] A5 -- 壓縮 --> A51[1] A11 --> AA['0, 1, 1, 1, 1'] A21 --> AA A31 --> AA A41 --> AA A51 --> AA AA -- 二分查詢得到左邊緣<br/>下標都是指在整體矩陣中的下標 --> AAA[下標1] B -- 分行,壓縮 --> BB['1'<br/>'1'<br/>'1'] BB -- 上邊緣 --> BBB[下標0] C -- 分列,壓縮 --> CC['1, 1, 0'] CC -- 右邊緣 --> CCC[下標5] D -- 分行,壓縮 --> DD['1'<br/>'1'<br/>'0'] DD -- 下邊緣 --> DDD[下標3] AAA --> AC[跨度5] CCC --> AC BBB --> BD[跨度4] DDD --> BD AC --> R[面積20] BD --> R輸入：["0000100","0111100","0001100","0011110","0000000"],
x = 2, y = 4
輸出：20
3.2 時間複雜度
演算法在每一個方向使用一次二分法，假定矩陣圖有m行n列，相同維度的二分法耗時可以整體來算，橫向上二分法操作的時間複雜度為O(log n)，縱向上二分法操作的時間複雜度為O(log m)。
橫向的二分法每次判斷都包含一次對列的遍歷操作的時間複雜度O(m)，縱向的二分法每次判斷都包含一次對行的遍歷的時間複雜度O(m)。
橫向二分法總耗時O(m * log n)，縱向二分法總耗時O(n * log m)。
演算法的時間複雜度為O(m * log n + n * log m)，其中m為矩陣圖的行數，n為矩陣圖的列數。
3.3 空間複雜度
演算法的空間複雜度為O(1)。
4 原始碼
注意事項：
- 題目給出的種子點座標(x, y)，x表示二維陣列的行序號，y表示二維陣列的列序號，所以x是縱向的距離，y是橫向的距離，這點和直角座標系的x方向和y方向剛好相反，很容易想歪，思路要清晰；
- 求面積的時候，注意一個點代表一距離，不是一條邊代表一距離。
C++版本：
/**
* @param image: 代表包含'0'和'1'為元素的二進位制矩陣圖
* @param x: 初始黑點的縱座標
* @param y: 初始黑點的橫座標
* @return: 最小覆蓋矩形的面積
*/
int minArea(vector<vector<char>> &image, int x, int y) {
// write your code here
if (image.empty() || image.front().empty()) // 橫縱都不能為空
{
return 0;
}
int maxRow = image.size() - 1;
int maxColumn = image.front().size() - 1;
// 計算四個方向最邊緣點的下標
int left = calLeftEdge(image, 0, y);
int right = calRightEdge(image, y, maxColumn);
int top = calTopEdge(image, 0, x);
int bottom = calBottomEdge(image, x, maxRow);
return (right - left + 1 ) * (bottom - top + 1);
}
// 計算最左邊緣黑點的橫座標
int calLeftEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isColWhite(image, mid))
{
start = mid;
}
else
{
end = mid;
}
}
if (isColWhite(image, start))
{
return end;
}
else
{
return start;
}
}
// 計算最右邊緣黑點的橫座標
int calRightEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isColWhite(image, mid))
{
end = mid;
}
else
{
start = mid;
}
}
if (isColWhite(image, end))
{
return start;
}
else
{
return end;
}
}
// 計算最上邊緣黑點的縱座標
int calTopEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isRowWhite(image, mid))
{
start = mid;
}
else
{
end = mid;
}
}
if (isRowWhite(image, start))
{
return end;
}
else
{
return start;
}
}
// 計算最下邊緣黑點的縱座標
int calBottomEdge(vector<vector<char>> & image, int start, int end)
{
int mid = 0;
while (start + 1 < end)
{
mid = start + (end - start) / 2;
if (isRowWhite(image, mid))
{
end = mid;
}
else
{
start = mid;
}
}
if (isRowWhite(image, end))
{
return start;
}
else
{
return end;
}
}
// 判斷行中是否全為白點
bool isRowWhite(vector<vector<char>> & image, int row)
{
for (int i = 0; i < image.front().size(); i++)
{
if (image.at(row).at(i) == '1')
{
return false;
}
}
return true;
}
// 判斷列中是否全為白點
bool isColWhite(vector<vector<char>> & image, int col)
{
for (int i = 0; i < image.size(); i++)
{
if (image.at(i).at(col) == '1')
{
return false;
}
}
return true;
}