多項式卷積技巧（其中一個多項式係數是簡單組合數）
阿新 • • 發佈：2021-07-09
多項式卷積技巧（其中一個多項式係數是簡單組合數）
考慮下面的問題:
\[f_{i,j}={w_i\choose j}+\sum_{k< i} (\sum_{l\leq j} f_{k,l}{s_{k,i}\choose j-l})g_{k,i},(i\leq n,j\leq m) \]其中\(w,g,s\)為任意數字，求\(f\)。
暴力轉移是\(O(N^2M^2)\)的。
用多項式乘法可以\(O(N^2M\log M)\)常數較大。
下面討論一種\(O(N^2M)\)的小常數做法。
首先需要對組合數進行一步轉換：\({m\choose n}=[x^n](1+x)^m\)。
則式子就可以寫成：
其中\(h_{i}=\sum_{j\geq 0} {w_i\choose j}x^j\)。
定義\(f'\)表示\(f\)左移\(1\)得到的多項式。
則上面的式子就是:
\[f'_i=h'_i+\sum_{k<i} f'_k\times x^{s_{k,i}}g_{k,i} \]其實就是右移，相加。
最後通過\(f'\)還原到\(f\)只需要實現右移\(1\)即可。
程式碼非常好寫。
例題：SRM 761 div1 Level 3 SpanningSubgraphs
題解+程式碼：SRM 761 div1 Level 3 SpanningSubgraphs 題解 - QQQ,,, - 部落格園 (cnblogs.com)