把雲剪貼簿裡的東西發出來順便複習一下

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考慮如何貪心確定一個序列的深度？

可以考慮最左邊的左括號，最右邊的有括號匹配，然後扔掉匹配的兩個括號後繼續做，這樣是最大的。

考慮一對括號如何會產生貢獻？

手玩一下能發現，當 \((i,j)\) ， \(i\) 的左邊左括號數 = \(j\) 右邊右括號數，且 s[i]=='(' , s[j]==')' ，就會有貢獻。

但是要列舉兩個，比較不可做，如何簡化問題？

考慮換個列舉，貢獻只算在右括號上，設 s[i]=='(' 。那麼 \(i\) 右邊的 ) 比 \(i\) 左邊的 ( 嚴格少， \(i\) 就一定會被匹配一次。

設 \(i\) 左邊的 ( 為 \(A\)

個，? 為 \(C\) 個；設右邊的 ) 為 \(B\) 個，? 為 \(D\) 個。

\(i\) 的貢獻為：

\[\sum_{x=1}^C \sum_{y=1}^D \binom{C}{x}\binom{D}{y} [x+A>y+B] \]

這個 \(x+A>y+B\) 相當於 \(x-y>B-A\) ，減法沒法化簡，但是可以轉化成加法：

\[\sum_{x=1}^C \sum_{y=1}^D \binom{C}{C-x}\binom{D}{y} [x+A>y+B] \]

用 \(x\) 替換 \(C-x\)

\[\sum_{x=1}^C \sum_{y=1}^D \binom{C}{x}\binom{D}{y} [C-x+A>y+B] \]\[\sum_{x=1}^C \sum_{y=1}^D \binom{C}{x}\binom{D}{y} [x+y\le A+C-B-1] \]\[\sum_{k=0}^{A+C-B-1} \sum_{x=1}^C \sum_{y=1}^D \binom{C}{x}\binom{D}{y}[x+y=k] \]

後面柿子成為了範德蒙德卷積，直接替換掉兩個迴圈：

\[\sum_{k=0}^{A+C-B-1} \binom{C+D}{k} \]

由於列舉的 \(i\) 只能為 )　或　? ，因此 \(C+D\) 只有兩種可能取值。

然後處理兩個組合數字首和就能算了。

$$\Huge \text{Goodbye OI}$$