Pólya 定理學習筆記
Pólya 定理學習筆記
\(~~~~\) 已經不認識 群 和 換 了/dk
\(\S 1.\)群
\(~~~~\) 給定一個集合 \(G\) 和集合內的運算 \(\circ\) ，若 \(G\) 和 \(\circ\) 滿足：
-
封閉性：\(\forall a,b\in G\)，\(a \circ b\in G\) ；（即任意兩個集合中的元素的運算結果仍在集合中）
-
結合律：\(\forall a,b,c\in G\)，\((a \circ b)\circ c=a\circ(b \circ c)\)；（即在連續運算時其先後順序對結果沒有影響）
-
存在單位元：\(\exist e\in G,\text{s.t.} \forall a\in G,e\circ a=a \circ e=a\)
；（即存在單位元，其與任何其他元素運算的結果均為該元素本身） -
存在逆元，\(\forall a\in G,\exist b\in G,\text{s.t.} a \circ b=e\) ，可將 \(b\) 記作 \(a^{-1}\)。（即對於任意元素都有元素與之進行運算和結果為單位元）
\(~~~~\) 此時上述集合 \(G\) 和運算 \(\circ\) 一併稱為群，記作 \((G,\circ)\)，比如 \((\Bbb{Z},+),(\Bbb{R},\times)\) 都是群（ \(+\) 和 \(\times\) 這裡都是對於數的運算）
\(\S2.\) 置換群
$\S 2.1 $置換
\(~~~~\) 置換簡單來說就是一個集合對映到自身的雙射。
（雙射：同時滿足單射和滿射的對映；單射：在對映\(f:A\rightarrow B\) 中，滿足 \(\forall x,y\in A\)，若 \(x\not = y\) ，則 \(f(x)\not = f(y)\) 的對映；滿射：在對映 \(f:A\rightarrow B\) 中，滿足 \(\forall y\in B\) ，\(\exist x\in A,\text{s.t.}f(x)=y\) 的對映）
\(~~~~\) 此時可將一個置換簡記為：
\[\sigma = \begin{pmatrix} a_1&a_2&\dots&a_n\\ b_1&b_2&\dots&b_n \end{pmatrix},b_i=\sigma(a_i),i\in[1,n] \]\(~~~~\)
\(~~~~\) 同時，置換：
\[\sigma = \begin{pmatrix} a_1&a_2&\dots&a_n\\ a_1&a_2&\dots&a_n \end{pmatrix} \]\(~~~~\) 被稱為 \(n\) 元恆等置換。
\(\S2.2\) 置換乘法
\(~~~~\) 置換乘法按照從左到右的順序，即置換 \(\sigma\tau(a_i)=\tau(\sigma(a_i))\) 。
\(~~~~\) 因此，置換乘法滿足結合律：
\(~~~~\) 設：有 \(n\) 元置換 \(\sigma,\tau,\rho\)
\(~~~~\) 則 \((\sigma\tau)\rho(a_i)=\rho\{\tau[\sigma(a_i)]\}\) ，\(\sigma(\tau\rho)(a_i)=(\tau\rho)[\sigma(a_i)]=\rho\{\tau[\sigma(a_i)]\} (i\in [1,n])\) 故兩者相等。
\(\S2.3\) 置換群
\(~~~~\) 令 \(G\) 表示在集合 \(M\) 下所有 \(n\) 元置換組成的集合，則 \(G\) 連同置換乘法可組成一個群，將其稱為置換群。
\(~~~~\) 證明：
- 封閉性：對於置換 \(\sigma,\tau\in G\) ，\(\sigma\tau\) 顯然也是 \(G\) 中的一個 \(n\) 元置換；
- 結合律：見
2.2置換乘法中的證明； - 存在單位元：\(n\) 元恆等置換即為單位元；
- 存在逆元：對於任意置換 \(\sigma=\begin{pmatrix} a_1&a_2&\dots&a_n\\ b_1&b_2&\dots&b_n \end{pmatrix}\)，存在置換\(\sigma^{-1}=\begin{pmatrix} b_1&b_2&\dots&b_n\\ a_1&a_2&\dots&a_n \end{pmatrix}\) 使得 \(\sigma \sigma^{-1}\) 為 \(n\) 元恆等置換。
\(~~~~\) 一般將 \(n\) 元置換的群記作 \(s_n\) 。
\(\S3.\) 輪換
\(\S3.1\) 輪換
\(~~~~\) 輪換，也被稱作迴圈，可用於簡記置換。將長度為 \(m\) 的，滿足如下形式的置換可進行簡記：
\[\begin{pmatrix} a_1&a_2&\dots a_{m-1}&a_m\\ a_2&a_3&\dots a_{m}&a_1 \end{pmatrix}=(a_1 a_2\dots a_{m-1}a_m) \]\(~~~~\) 若兩個輪換中不存在相同的元素，則稱這兩個輪換是不相交的。顯然，一個置換可以被唯一地表示為若干不相交輪換的積（不考慮輪換中元素的次序和輪換的次序）。
\(\S3.2\) 輪換指標
\(~~~~\) 由 3.1 可知，任意 \(S_n\) 中的置換 \(\sigma\) 都可以唯一分解為若干不相交輪換的積，即：
\(~~~~\) 記 \(C_i(\sigma)\) 表示置換 \(\sigma\) 中長為 \(i\) 的輪換出現的次數，並用 \((i)^{C_i(\sigma)}\) 表示，則所有 \(S_n\) 中的置換 \(\sigma\) 都可以用：
\[(1)^{C_1(\sigma)}(2)^{C_2(\sigma)}\dots(m)^{C_m(\sigma)} \]\(~~~~\) 來表示。顯然，一部分置換在上述表示下是完全相同的，此時我們將所有可以用同一個上述形式式子表示的置換歸為一個共軛類。如：\((1,2)(3,4)\) 和 \((1,3)(2,4)\) 就屬於同一個共軛類。
\(~~~~\) 同時這裡不會加證明地給出一個結論，\((1)^{C_1(\sigma)}(2)^{C_2(\sigma)}\dots(m)^{C_m(\sigma)}\) 共軛類的元素個數為：
\(~~~~\) 由此可以定義輪換指標，設 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 為 \(n\) 個未定元，\(G\) 為 \(S_n\) 的置換集合，則輪換指標 \(P_G\) 的定義為：
\[P_G(x_1,x_2,\dots,x_n)=\dfrac{\sum_{\sigma \in G} \prod_{j=1}^n x_j^{C_j(\sigma)}}{|G|} \]\(~~~~\) 比如：
\(\S4.\text{Burnside}\) 引理
\(\S4.1\) 等價類/軌道
\(~~~~\) 如圖：
\(~~~~\) 對於一個置換群，若對某點進行若干次操作，它都只能變為一些特定的值，則這些元素的集合即為一個等價類，也就是它們在同一軌道上。
\(~~~~\) 比如上圖中的 \(1\) 只能變化到 \(1\) 和 \(3\) ，同理 \(2\) 只能變化到 \(2\) 和 \(4\) ，因此上面的置換群有兩個等價類 \(\{1,3\}\) 和 \(\{2,4\}\) ，將 \(k\) 所在的等價類記為 \(E_k\)。
\(\S4.2\ k\)不動置換群
\(~~~~\) \(k\) 不動置換群即對於 \(k\in[1,n]\) ，所有使得 \(k\) 保持不變的置換的集合，將其記為 \(Z_k\) 。
\(~~~~\) 此外再不會加證明地給出 軌道-穩定子定理：\(|E_k||Z_k|=|G|,k\in[1,n]\)
\(\S4.3\ \text{Burnside}\) 引理
\(~~~~\) 令 \(G\) 是 \(X=[1,n]\) 上的一個置換群，則 \(G\) 在 \(X\) 上的等價類共有：
\[\dfrac{\sum_{\sigma\in G}c_1(\sigma)}{|G|} \]\(~~~~\) 其中 \(c_1(\sigma)\) 即置換 \(\sigma\) 拆分成的若干輪換的積中長為 \(1\) 的輪換的個數。
\(\S 5.\text{P}\acute{o}\text{lya}\) 定理
\(\S 5.1.\text{P}\acute{o}\text{lya}\) 定理
\(~~~~\) 由於 \(\text{Burnside}\) 定理需要列舉所有不動點數目，這在時間複雜度上難以接受（\(n^m\)） ，所以我們需要一種快速計算不動點數目的方法。
\(~~~~\) 我們可以把對於集合 \([1,n]\) 的所有置換看成是對集合中所有元素染為 \(m\) 種色，則當若干元素（注意並不一定是全部）染為同種顏色且它們在同一個輪換內時它們都是不動點。那麼同理，若一個置換有 \(k\) 個輪換，則每個輪換都有 \(m\) 種顏色選擇，則因此該置換共有 \(m^k\) 個不動點。
\(~~~~\) 綜上，可以寫出經過該定理優化後的式子：
\[\dfrac{\sum_{i=1}^g m^{k_{a_i}}}{|G|} \]\(~~~~\) 其中 \(a_i\) 是一個 \(n\) 元置換， \(k_\sigma\) 表示該置換展開為輪換的積後的輪換個數。