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Codeforce D. Ceil Divisions (構造+思維)

題目連結

題意:

給你一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\) 滿足 \(a_i=i\)
你每次可以進行一次如下操作:

  • 選擇兩個數 \(a_x,a_y\),將 \(a_x\) 修改為 \(\lceil\frac{a_x}{a_y}\rceil\)

你需要在 \(n+5\) 步之內將這個序列 \(a\) 修改為 \(n-1\) 個 1 和 1 個 2 的序列。

輸出方案,即每一步操作的 \(x,y\)

注意:你不需要最小化步數。

思路:

我們可以很明顯看出來這樣一條性質:

  1. 如果進行\(\dfrac{n}{n-1}\)操作,向上取整會得到 2 。
  2. 如果進行 \(\dfrac{n}{n+1}\)
    操作,向上取整會得到 1 。

很明顯操作2更能減少步數,所以我們儘量的先參用操作2,這樣我們就可以通過\((n-3)\)步將陣列中\(3到(n-1)\) 變成1 還剩下2和n,如果我們一直除2的話,肯定是不行的,所以我們需要再過程中將n簡化,所以我們就想到了\(\sqrt{n}\),這樣我們可以盡最大努力簡化n,而為了不影響\(3到(n-1)\)化1的過程,所以我們就需要在這個過程中,遇到一個接近\(\sqrt{n}\)的才把n簡化.這樣步數就不會超了.

// Problem: D. Ceil Divisions
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 101 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1469/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long ull;

#define x first
#define y second
#define sf scanf
#define pf printf
#define PI acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) ((-x)&x)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define repi(i,a,b) for(int i=int(a);i<=(b);++i)
#define repr(i,b,a) for(int i=int(b);i>=(a);--i)
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl;

const int MOD = 998244353;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;
const int dx[] = {0, 1, -1, 0, 0};
const int dy[] = {0, 0, 0, 1, -1};
const int dz[] = {1, -1, 0, 0, 0, 0 };
int day[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

ll n;
ll a[maxn],b[maxn],c[maxn];

void solve()
{
	cin>>n;
	ll cnt=0;
	ll ans=n;
	for(int i=n-1;i>2;i--){
		if(ans/i>=i){
			if(ans%i==0){
				ans=ans/i;
			}else ans=ans/i+1;
			b[++cnt]=n;
			c[cnt]=i;
		}		
		b[++cnt]=i;
		c[cnt]=n;		
	}
	 while(ans>=2)
    {
	      if(ans%2==0)
	        ans/=2;
	      else
	        ans=ans/2+1;
	        
	    b[++cnt]=n;
    	c[cnt]=2;
    }
	cout<<cnt<<endl;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		cout<<b[i]<<" "<<c[i]<<endl;
	}
	
}

int main()
{
    ll t = 1;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}