動態規劃4.2——子序列問題
題目上添加了超連結，大家點一下題目就會自動跳轉到Poj原題介面~~ 衝鴨衝鴨ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ。
前言：建議大家按隨筆順序閱覽，序列型動態規劃是常見動態規劃型別當中的重點， 佔常見動態規劃型別裡的20%，這裡給出的幾道題都很經典，大家可以都當作板子抄下來。
動態規劃組成部分：
1：確定狀態
—確定最後一步（最優策略）
—抽象子問題
2：歸納轉移方程
3：初始條件和邊界情況
4：計算順序
4.2.1 Longest Ordered Subsequence (2533)
題意：在一個給定的數值序列中，找到一個子序列，使得這個子序列元素的數值依次遞增，並且這個子序列的長度儘可能地大，子序列中的元素在原序列中不一定是連續的。
小筆記：最長遞增子序列
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ans = 1;
int D[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int a[N];
scanf("%d", &a[i]);
D[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++)
if (a[j] < a[i]) // * 就這兒！
D[i] = max(D[i], D[j] + 1);
ans = max(ans, D[i]);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
以上程式碼求的是最長遞增子序列長度，其他情況修改程式碼中*的位置：
①最長不降子序列長度，改成a[j] ≤ a[i]；
②最長遞減子序列長度，改成a[j] > a[i]；
③最長不升子序列長度，改成a[j] ≥ a[i]；
4.2.2 Wooden Sticks (1065)
題意：有n個木棍，已知長度和重量，將木棍放在機器上加工。機器的設定時間
①第一個木棍需要1分鐘；
②處理的木棍長度為l，重量為w，如果下一個木棍長度l’≤l並且w’≤w，不需要設定時間，否則需要1分鐘。
計算處理n個木棍的最少設定時間。
小筆記：最長不上升子序列、偏序、這題也可以貪心解
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5001;
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
pair<int, int> a[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
sort(a, a + n);
//通過二分查詢方法實現最長遞減子序列的值
int k = 0;
int d[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int p = -1;
int r = k;
while (r - p > 1)
{
int mid = (p + r) / 2;
if (d[mid] > a[i].second)
p = mid;
else
r = mid;
}
d[r] = a[i].second; //將已經搜尋到的子序列儲存到d中
if (r == k)
k++;
}
printf("%d\n", k);
}
return 0;
}
4.2.3 Alignment (1836)
題意：n個士兵站成一行，佇列中任何士兵的某一側（左側或者右側）沒有身高大於或者等於他的士兵，他就可以看到佇列這一側的最外面的位置。為了使佇列中的每一個士兵都可以看到他某一側的最外面位置，問最少出列多少士兵可以使剩下的士兵滿足這個條件。
小筆記：最長遞增子序列
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
int main()
{
double a[N];
int n;
scanf("%d", &n);
int L[N], R[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%lf", &a[i]);
L[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++)
if (a[j] < a[i])
L[i] = max(L[i], L[j] + 1);
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
R[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j--)
if (a[j] < a[i])
R[i] = max(R[i], R[j] + 1);
}
int ans = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = i + 1; j < n; j++)
ans = max(ans, L[i] + R[j]);
printf("%d\n", n - ans);
return 0;
}
4.2.4 Maximum sum (2479)
題意：n個整數構成的數列a[1…n]，求d(A)。
小筆記：最大連續子序列和
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50005;
const int MIN = -10000;
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
int L[N], R[N];
L[0] = R[n + 1] = MIN;
int a[N];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
L[i + 1] = max(a[i], L[i] + a[i]);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
L[i] = max(L[i - 1], L[i]);
for (int i = n; i > 0; i--)
R[i] = max(a[i - 1], R[i + 1] + a[i - 1]);
for (int i = n; i > 0; i--)
R[i] = max(R[i + 1], R[i]);
int ans = MIN;
for (int i = 1; i < n; i++)
ans = max(ans, L[i] + R[i + 1]);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
4.2.5To the Max (1050)
題意：一個二維矩陣包含正數和負數，任何連續的矩陣空間構成它的子矩陣，矩陣中所有元素的和稱為矩陣的和，求最大的子矩陣和。
小筆記：進階，最大子矩陣和。按照合適的順序將求子矩陣的和的計算轉化成求子序列的和，在求的過程中記錄最大值。
題解： ①從左到右計算每一行，將Σa[i,1…j]儲存到a[i,j]中，這樣，任意一段Σa[i,k…j]就可以通過a[i,j]-a[i,k]得到；
②先取1列，計算由1列組成的最大子矩陣和，因為只有1列，相當於求最大的連續子序列和。這裡與上一個問題求最大連續子序列和不同，本題的連續子序列必須包含i點，而上題不需要。
③擴充套件到多列的情況，因為k…j列可以由a[i,j]-a[i,k]得出，依舊是1個值，計算方法和②一樣；
④最後擴充套件到所有列，就找到了最大子矩陣和。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int ans = -128;
int a[101][101] = {0};
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
int t;
scanf("%d", &t);
a[i][j] = a[i][j - 1] + t;
}
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int k = 0; k < j; k++)
for (int i = 1, sum = 0; i <= n; i++)
{
sum = a[i][j] - a[i][k] + max(0, sum);
ans = max(ans, sum);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}