裴蜀定理：若a,b是整數,且gcd(a,b)=d，那麼對於任意的整數x,y,ax+by都一定是d的倍數，特別地，一定存在整數x,y，使ax+by=d成立。

對於此題，若d = 1，則可選的種類一定為無數種，換言，一定有有限個數不能選，求出有多少個不能選就可了。

資料範圍為10000，別問我怎麼知道的（狗頭保命）。參考原文：AcWing 1226. 包子湊數 完全揹包 ($yan氏dp + 層層分析$) - AcWing

二維dp做法：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 105;
bool dp[N][10005];
int
 
 w[N];
int n;

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    int d = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin>>w[i];
        d = gcd(d,w[i]);
    }
    
    if (d != 1) cout<<"INF\n";
    else
    {
        dp[
 
0][0] = true; // 初始化   
        for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 二維完全揹包模板  
            for (int j = 0; j <= 10000; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]; 
                if (j >= w[i]) 
                dp[i][j] = dp[i][j] | dp[i][j-w[i]];// 選與不選，恰是1與0,若 w[i]~j都可以選，說明j也可以湊出，為1，那不能湊出的j就是0了  
            }
        }
        
 
int ans = 0;
        for (int j = 0; j < 10000; j++)
            if (!dp[n][j]) // 不能湊出  
            ans++;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

一維dp做法：（補充了一個小tips）

#include <iostream> 
using namespace std;

const int N = 105;
bool dp[10005];
int n;
int w[N];

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a; // little tips:第一組d = 0 傳過來最大公因數就是w[i] 
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    cin>>n;
    int d = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin>>w[i];
        d = gcd(d,w[i]); 
    }
    if (d != 1) cout<<"INF\n";
    else 
    {
        dp[0]= true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 一維完全揹包模板  
            for (int j = w[i]; j < 10000; j++) {
                dp[j] |= dp[j-w[i]]; // 等同二維的解釋  
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j < 10000; j++) {
            if (!dp[j]) ans++;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

寫的不夠好，建議去看開頭的連結\--。--/