一類約化解空間法在演算法競賽中的應用
約化解空間法（Reducing Solution Space）是一類通過減小列舉量從而有效降低時間複雜度的演算法。在演算法競賽中，這種演算法通常被冠以貪心（Greedy）的名字，且不太常見，對選手思維的要求較高。而本文旨在形式化地探討這種方法以及其具體應用。而約化解空間的名字來源於泛函分析中不變子空間[1]的概念。
注意本文中所有關於解空間的名詞命名均為本文新定義，若有更好的命名方式請聯絡筆者。
1 Introduction
在泛函分析中不變子空間問題是一個著名的懸而未決的問題，它有時也被樂觀地稱為不變子空間猜想[1]：
給定一個維度大於 \(1\) 的復希爾伯特空間[2] \(H\)，以及一個有界運算元 \(f:H\rightarrow H\)
，問是否存在一個 \(H\) 的非平凡子空間 \(W\)(\(W\neq H\) 且 \(W \neq \{0\}\)) 使得 \(f(W)\subseteq W\)。
滿足上述條件的子空間 \(W\) 被稱為 \(H\) 關於 \(f\) 的不變子空間。
將不變子空間的概念推廣到解空間上則有：
Remark 1.1 設組合問題 \(P\) 的解空間為 \(S\)，設存在一個有界運算元 \(f:S\rightarrow S\)，若 \(T \subseteq S\)，且 \(f(T)\subseteq T\)，則稱 \(T\) 是 \(S\) 關於 \(f\) 的一個不變子解空間。
考慮一種特殊的不變子解空間：
Remark 1.2 設組合問題 \(P\) 的解空間為 \(S\)，設存在一個有界運算元 \(f:S\rightarrow S\)，若 \(T \subseteq S\)，且 \(f(T)=T\)，則稱 \(T\) 是 \(S\) 關於 \(f\) 的一個最簡不變子解空間。
注意到若 \(T_1\)，\(T_2\) 是 \(S\) 關於 \(f\) 的最簡不變子解空間，則 \(T_1\cup T_2\) 也是 \(S\) 關於 \(f\) 的最簡不變子解空間，於是有：
Theorem 1.1 對於解空間 \(S\) 與有界運算元 \(f:S\rightarrow S\)，存在唯一的 \(S\)
Remark 1.3 我們稱 \(T_m\) 為 \(S\) 關於 \(f\) 的最大最簡子解空間，或約化子解空間，記作 \(T_m=f_m(S)\)。
為了讓約化子解空間在組合問題中得到應用，我們需要對運算元 \(f\) 做出一定的限制。
Remark 1.4 對於組合問題 \(P\)，在其解空間 \(S\) 上有一個代價函式 \(g:S\rightarrow K\)，其中 \(K\) 是一個全序集，若有界運算元 \(f:S\rightarrow S\) 滿足對 \(\forall x \in S\) \(g(f(x))\le g(x)\) 或 \(\forall x \in S\) \(g(f(x))\ge g(x)\)，則稱 \(f\) 是關於組合問題 \(P\) 的一個約化運算元。其中，若 \(g(f(x))\le g(x)\) 則稱 \(f\) 為最小化約化運算元，反之則稱為最大化約化運算元。
於是我們獲得瞭解決組合問題的一個有力工具：
Theorem 1.2 若組合問題 \(P\) 的解空間為 \(S\)，代價函式為 \(g:S\rightarrow K\)，\(K\) 為全序集。若 \(f\) 為 \(P\) 的一個最小化約化運算元，則有 \(\min\limits_{x\in S}\{g(x)\}=\min\limits_{x\in f_m(S)}\{g(x)\}\)；若 \(f\) 為 \(P\) 的一個最大化約化運算元，則有 \(\max\limits_{x\in S}\{g(x)\}=\max\limits_{x\in f_m(S)}\{g(x)\}\)。
由此，我們通過約化運算元 \(f\) 將組合問題的解空間 \(S\) 約化到了 \(f_m(S)\)。只要恰當地選取運算元，\(f_m(S)\) 通常可以獲得比 \(S\) 更小的空間或者更優的結構，方便進一步列舉、貪心或 DP。
2 Application
2.1 約化解空間法在組合最優化問題中的應用例項
Example 2.1.1 來源 Luogu6832：給定一個字串 \(s\)，求其出現次數最多的子串的出現次數。
本題解空間可以描述為 \(S=\Sigma *\)，代價函式 \(g:S\rightarrow \mathbb{N}\)，表示串在 \(s\) 中的出現次數。
設 \(f:S\rightarrow S\)，\(f(x)\) 表示 \(x\) 的任一非平凡子串，顯然有 \(g(f(x))\ge f(x)\)。所以 \(f\) 為 \(S\) 最大化約化運算元。
又 \(f_m(\Sigma *)=\Sigma\)，所以該問題答案為 \(\max\limits_{x\in \Sigma}(g(x))\)。
可以很簡單地 \(O(|S|)\) 求解。
Emample 2.1.2 來源 ICPC 2021 Jiangxi：
2.2 約化解空間法在組合存在性問題中的應用例項
Example 2.2.1 來源 XXI Open Cup. Grand Prix of Korea Problem.B：給定陣列 \(\{a_n\}\)，\(\{b_m\}\)，矩形平面網格的權值為 \(C_{i,j}=A_i+B_j\)。運動員每次只能向右或向下走一格，不能經過 \(C_{i,j}<0\) 的格子。問存在多少對 \((i,j)\) 使得存在至少一條路徑可以從 \((i,1)\) 走到 \((j,m)\)。
考慮每一對 \((i,j)\) 是否存在路徑，問題可以轉化為是否存在一個能阻隔所有路徑的位置集合，其上權值均小於 \(0\)。所以解空間是 \(S=\{p能阻斷路徑|p\in 2^{\{(x,y)|i\le x\le j,1\le y\le m\}}\}\)。而代價函式 \(g:S\rightarrow \{0,1\}\) 為 \(g(x)=\prod\limits_{(p,q)\in x}[c_{p,q}<0]\)。
構造運算元 \(f_1\)。若阻隔點集合為 \(x\)，令 \((m_x,p_m)=\min\limits_{(p,q)\in x}\{(A_p,p)\}\)，\(y\) 為 \(\bigcup\limits_{(p,q)\in x}(p_m,q)\cup x\)。\(f_1(x)=y\)。若 \(g(x)=1\) 則 \(\forall (p,q) \in x\) 有 \(A_p+B_q<0\) 所以 \(\forall (p,q) \in x\) 有 \(m_x+B_q<0\)，所以 \(g(y)=1\)，所以 \(f_1\) 是最大化約化運算元。
構造運算元 \(f_2\)。若阻隔點集合為 \(x\)，令 \((m_y,q_m)=\min\limits_{(p,q)\in x}\{(B_q,q)\}\)，\(y\) 為 \(\bigcup\limits_{(p,q)\in x}(p,q_m)\cup x\)。\(f_2(x)=y\)。同理可證 \(f_2\) 是最大化約化運算元。
構造運算元 \(f_3\)。若阻隔點集合為 \(x\)，\(y=x-\bigcup\limits_{(p,q)\in x,p\neq p_m,q \neq q_m}(p,q)\)。\(f_3(x)=y\)。由於 \(y\subseteq x\)，所以 \(g(y)\ge g(x)\)，\(f_3\) 是最大化約化運算元。
然後構造 \(f_4,f_5,f_6,f_7\) 分別表示刪除 \(x\) 最上，最下，最左，最右的一個點，顯然均是最大化約化運算元。
所以最終 \((S)f_1f_2f_3f_4f_5 f_6f_7=\{矩形(i,1)-(j,m)中所有的行和列以及包住起點或終點的 L 形\}\)。
於是列舉量大大減小，最後結合一些二分優化可以做到 \(O(n\log n)\)。
References
- 不變子空間問題，維基百科
https://zh.wikipedia.org/wiki/不變子空間問題 - 希爾伯特空間，維基百科
https://zh.wikipedia.org/wiki/希爾伯特空間