[ZJOI2007]棋盤製作題解 & 懸線法

阿新 • • 發佈：2021-10-15

題意簡述

給定 $n \times m$ 的 01矩陣，從中找到最大的正方形和矩形使得 01 交錯。

解題思路

採用懸線法。

懸線法

即對於每一行的狀態，用一根橫著的線左右移動，直到不滿足條件或者到達邊界為止，線的兩端即為符合要求的區間。

定義狀態

$ L[i][j] $ 表示從 $(i, j)$ 能到達的最左位置。
$ R[i][j] $ 表示從 $(i, j)$ 能到達的最右位置。
$ up[i][j] $ 表示 $(i, j)$ 能向上擴充套件多少層（包括自己這一層）。

初始化

假如只有自己，自己能到達的最左最右位置只有自己這兒；自己只有一層。

$L[i][j] = j;$
$R[i][j] = j;$
$up[i][j] = 1;$

狀態轉移

一行中的不同列

列舉 $j$：

對於 $L$，僅當第 $j$ 位能由 $j - 1$ 擴充套件過來:

$L[i][j] = L[i][j - 1];$

對於 $R$，僅當第 $j$ 位能由 $j + 1$ 擴充套件過來:

$R[i][j] = R[i][j + 1];$

每行之間

僅當 $(i, j)$ 能與 $(i - 1, j)$ 聯通，即 $(i, j)$ 能由 $(i- 1, j)$ 擴充套件過來時：

$L[i][j] = max(L[i][j], L[i - 1][j]); $

$R[i][j] = min(R[i][j], R[i - 1][j]); $
$up[i][j] = up[i - 1][j] + 1．$

假設下圖中綠色的方塊為 $(i, j) $，那麼紅色的方塊即為 $(i - 1, j) $。

原來的 $L[i][j]$ 較大，更新狀態之後反而變小了。因為更新之後，$L[i][j] $ 代表的是藍色方框內 $(i, j) $ 能到達的最左位置。$R[i][j]$ 同理。

那可能有人有疑問了，要按照這樣轉移，最後是不是隻考慮了下圖藍色的部分？可是答案是綠色的部分啊？

其實，按照剛才那樣轉移，綠色框也會考慮到。

我們轉移狀態之前，保證 $(i, j)$

能由 $(i- 1, j)$ 擴充套件過來，那麼下圖中填充為藍色的部分的 $L,R$ 表示藍色框的寬。

而此時下圖中填充為綠色的部分的 $L,R$，就可以表示綠色框的寬了。

仔細想一下，下圖填充為綠色部分的 $L,R$ 沒有被上一行的 $L,R$ 所影響，那麼他們的 $L,R$ 表示的即為整個綠色框的寬。在遍歷 $i,j$ 的時候，可以正常計算綠色框的大小，即綠色框被考慮到了。

程式碼

const int N = 2005;
int n, m, L[N][N], R[N][N], up[N][N];
bitset<N> b[N];

int main()
{
    n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            b[i][j] = read();
            L[i][j] = j, R[i][j] = j;
            up[i][j] = 1;
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 2; j <= m; ++j)
            if (b[i][j] != b[i][j - 1])
                L[i][j] = L[i][j - 1];

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = m - 1; j >= 1; --j)
            if (b[i][j] != b[i][j + 1])
                R[i][j] = R[i][j + 1];

    int ans1 = 0, ans2 = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if (i > 1 and b[i][j] != b[i - 1][j])
            {
                up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;
                L[i][j] = max(L[i][j], L[i - 1][j]);
                R[i][j] = min(R[i][j], R[i - 1][j]);
            }
            int len = R[i][j] - L[i][j] + 1;
            ans2 = max(ans2, len * up[i][j]);
            ans1 = max(ans1, min(len, up[i][j]) * min(len, up[i][j]));
        }
    }

    W(ans1, '\n'), W(ans2, '\n');
    return 0;
}