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原文出處：拓端資料部落公眾號

在這個例子中，我們考慮隨機波動率模型 SV0 的應用，例如在金融領域。

統計模型

隨機波動率模型定義如下

併為

其中 yt 是因變數，xt是 yt 的未觀察到的對數波動率。N(m,σ2) 表示均值 m和方差 σ2 的正態分佈。

α、β和 σ是需要估計的未知引數。

BUGS語言統計模型

檔案內容'sv.bug'：

1. moelfle = 'sv.bug' # BUGS模型檔名
2. cat(readLies(moelfle ), sep = "\n")

1. # 隨機波動率模型SV_0
2. # 用於隨機波動率模型
3. var y[t_max], x[t_max], prec_y[t_max]
6. model
7. {
8. alha ~ dnorm(0,10000)
9. logteta ~ dnorm(0,.1)
10. bea <- ilogit(loit_ta)
11. lg_sima ~ dnorm(0, 1)
12. sia <- exp(log_sigma)
14. x[1] ~ dnorm(0, 1/sma^2)
15. pr_y[1] <- exp(-x[1])
16. y[1] ~ dnorm(0, prec_y[1])
17. for (t in 2:t_max)
18. {
19. x[t] ~ dnorm(aa + eta*(t-1]-alha, 1/ia^2)
20. pr_y[t] <- exp(-x[t])
21. y[t] ~ dnorm(0, prec_y[t])
22. }

設定

設定隨機數生成器種子以實現可重複性

set.seed(0)

載入模型並載入或模擬資料

1. sample_data = TRUE # 模擬資料或SP500資料
2. t_max = 100
4. if (!sampe_ata) {
5. # 載入資料 tab = read.csv('SP500.csv')
6. y = diff(log(rev(tab$ose)))
7. SP5ate_str = revtab$te[-1])
9. ind = 1:t_max
10. y = y[ind]
11. SP500_dae_r = SP0dae_tr[ind]
12. SP500_e_num = as.Date(SP500_dtetr)

模型引數

1. if (!smle_dta) {
2. dat = list(t_ma=ax, y=y)
3. } else {
4. sigrue = .4; alpa_rue = 0; bettrue=.99;
5. dat = list(t_mx=_mx, sigm_tue=simarue,
6. alpatrue=alhatrue, bet_tue=e_true)
7. }

如果模擬資料，編譯BUGS模型和樣本資料

data = mdl$da()

繪製資料

對數收益率

Biips粒子邊際Metropolis-Hastings

我們現在執行Biips粒子邊際Metropolis-Hastings（Particle Marginal Metropolis-Hastings），以獲得引數 α、β和 σ以及變數 x 的後驗 MCMC 樣本。

PMMH的引數

1. n_brn = 5000 # 預燒/適應迭代的數量
2. n_ir = 10000 #預燒後的迭代次數
3. thn = 5 #對MCMC輸出進行稀釋
4. n_art = 50 # 用於SMC的nb個粒子
5. para_nmes = c('apha', 'loit_bta', 'logsgma') # 用MCMC更新的變數名稱（其他變數用SMC更新）。
6. latetnams = c('x') # 用SMC更新的、需要監測的變數名稱

初始化PMMH

執行 PMMH

update(b_pmh, n_bun, _rt) #預燒和擬合迭代

samples(oj_mh, ter, n_art, thin=hn) # 取樣

彙總統計

summary(otmmh, prob=c(.025, .975))

計算核密度估計

density(out_mh)

引數的後驗均值和置信區間

1. for (k in 1:length(pram_names)) {
2. suparam = su_pmm[[pam_as[k]]]
3. cat(param$q)
4. }

引數的MCMC樣本的蹤跡

1. if (amldata)
2. para_tue = c(lp_tue, log(dt$bea_rue/(-dta$eatru)), log(smtue))
3. )
5. for (k in 1:length(param_aes)) {
6. smps_pm = tmmh[[paranesk]]
7. plot(samlespram[1,]

PMMH：跟蹤樣本引數

引數後驗的直方圖和 KDE 估計

1. for (k in 1:length(paramns)) {
2. samps_aram = out_mmh[[pramnaes[k]]]
3. hist(sple_param)
4. if (sample_data)
5. points(parm_true)
6. }

PMMH：直方圖後驗引數

1. for (k in 1:length(parm) {
2. kd_pram =kde_mm[[paramames[k]]]
3. plot(kd_arm, col'blue
4. if (smpldata)
5. points(ar_true[k])
6. }

PMMH：KDE 估計後驗引數

x 的後均值和分位數

1. x_m_mean = x$mean
2. x_p_quant =x$quant
3. plot(xx, yy)
4. polygon(xx, yy)
5. lines(1:t_max, x_p_man)
6. if (ame_at) {
7. lines(1:t_ax, x_true)
9. } else
10. legend(
11. bt='n)

PMMH：後驗均值和分位數

x 的 MCMC 樣本的蹤跡

1. par(mfrow=c(2,2))
2. for (k in 1:length) {
3. tk = ie_inex[k]
5. if (sample_data)
6. points(0, dtax_t
7. }
8. if (sml_aa) {
9. plot(0
10. legend('center')
11. }

PMMH：跟蹤樣本 x

x 後驗的直方圖和核密度估計

1. par(mfow=c(2,2))
2. for (k in 1:length(tie_dex)) {
3. tk = tmnex[k]
4. hist(ot_m$x[tk,]
5. main=aste(t=', t, se='')
6. if (sample_data)
7. points(ata$x_re[t],
8. }
9. if (saml_dta) {
10. plot(0, type='n', bty='n', x
11. legend('center
12. bty='n')
14. }

PMMH：後邊際直方圖

1. par(mfrow=c(2,2))
2. for (k in 1:length(idx)) {
3. tk =m_dx[k]
4. plot(kmmk]] if (alata)
5. point(dat_r[k], 0)
6. }
7. if (aldt) {
8. plot(0, type='n', bty='n', x, pt.bg=c(4,NA)')
9. }

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