設 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可導，且滿足 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{|x|}=+\infty\)，證明：\(\forall a \in \mathbb{R},\exists \zeta \in \mathbb{R}, s.t.f'(\zeta)=a\)

考慮到：

\[\begin{aligned} &\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(\zeta) \\ &\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty \\ &\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{-x}=+\infty \Rightarrow \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty \\ &\end{aligned} \]

於是有：

\[\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0) \\ &\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=-\infty \\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty \\ \end{aligned} \]

又因為 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可導，所以 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上連續，所以 \(\frac{f(x)-f(0)}{x}\) 在 \(\mathbb{R}/\{0\}\)

連續

因此 \(\frac{f(x)-f(0)}{x}\) 值域為 \((-\infty,f'(0)),(f'(0),+\infty)\)

所以 \(\frac{f(x)-f(0)}{x} \in (-\infty,f'(0)) \cup (f'(0),+\infty)\)

所以 \(\forall a \ne f'(0),\exists x_0,s.t.f(x_0)=ax_0+f(0) \in \mathbb{R}\)

所以 \(\exists \zeta \in \mathbb{R}, s.t. a=\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0-0}=f'(\zeta)\)

當 \(a=f'(0)\) 時，有 \(\zeta=0,f'(\zeta)=f'(0)=a\)

綜上，得證