微積分(A)隨緣一題[18]
阿新 • • 發佈:2021-11-14
計算不定積分:$\int \frac{dx}{(2+\cos x)\sin x} $
湊一下微分(上下乘個 \(\sin x\),這樣的話上面就有 \(\cos x\) 了,下面用三角恆等變換都弄成 \(\cos x\)):
\[\begin{aligned} \int \frac{dx}{(2+\cos x)\sin x} = & \int \frac{\sin x dx}{(2+\cos x)\sin^2x} \\ = & -\int \frac{d(\cos x)}{(2+\cos x)(1-\cos ^2x)} \\ = & -\int \left(\frac{-\frac{1}{3}}{2+\cos x} + \frac{\frac{1}{2}}{1+\cos x} + \frac{\frac{1}{6}}{1-\cos x} \right)d (\cos x) \\ = & \frac{1}{3}\ln|2+\cos x|-\frac{1}{2} \ln |1+\cos x|+\frac{1}{6}\ln|1-\cos x| + C\\ = & \frac{1}{6}\ln \left| \frac{(1-\cos x)(2+\cos x)^2}{(1+\cos x)^3} \right| + C \end{aligned} \]當然也可以直接簡單粗暴的萬能代換:
這時候會發現結果部分有些不太對!
然而真的不太對嘛?並不:\(\frac{1}{3}\ln |\frac{1}{2}\cdot t|=\frac{1}{3}\ln |t|+\frac{1}{3}\ln\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\ln|t|+C'\)
所以實際上沒算錯(這個常數問題真是坑……)