廣義積分習題課————證明題

1

\[\int_1^{+\infty}\sin x^2dx\sim \int_1^{+\infty} \sin x\frac{dx}{\sqrt{x}} 收斂(\frac{1}{2}<1),\lim_{x \to +\infty} \sin x^2:DNE \\ 非負函式:f(x)=\begin{cases}0 \quad & x \in \mathbb{R}/\mathbb{Z} \\ 1 \quad &x \in \mathbb{Z}\end{cases} \]

2

\[反證法,不妨假設 \lim_{x \to +\infty}f(x)=C \ne 0 \\ 則 \int_a^{+\infty}f(x)dx \sim \int_a^{+\infty} Cdx 發散,所以假設不成立,所以C=0 \]

3

\[假設f(x)無界,則\forall M,\exists N,s.t. \exists x>N,|f(x)|>M,則 \int_a^{+\infty}f(x)dx 發散,產生矛盾,所以 f(x) 有界 \\ 又因為 f(x) 單調,所以 \lim_{x \to +\infty}f(x)存在 \\ 又因為 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收斂,所以 \lim_{x \to +\infty}f(x)=0 \]\[不妨設 f(x) 單調遞增 \\ f(A_1)(A_2-A_1)\le \int_{A_1}^{A_2}f(x)dx \le f(A_2)(A_2-A_1) \\ \Rightarrow \min(|f(A_2)(A_2-A_1)|,|f(A_1)(A_2-A_1)|)<\epsilon \Rightarrow |f(\zeta)|<\frac{\epsilon}{A_2-A_1} \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 \]

4

\[不妨設 f(x) 單調遞增 \\ 則\forall x>M, |xf(x)| \le \left| \int_{x}^{2x}f(t)dt \right|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}xf(x)=0 \]

5

\[f(t)-f(a)=\int_a^{t}f'(x)dx,\int_a^{+\infty}f'(x)dx=\lim_{x \to+\infty}f(x)-f(a) 存在,所以\lim_{x \to +\infty}f(x) 存在 \\ 又因為 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收斂,所以 \lim_{x \to +\infty}f(x)=0 \]

6

\[首先有 \lim_{x \to +\infty}xf(x)=0 \\ 所以:\int_a^{+\infty} xf'(x)dx=xf(x)\bigg|_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}f(x)dx=0-af(a)-\int_a^{+\infty}f(x)dx 收斂 \]

7

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{f^2(x)}{|f(x)|}=0,\int_a^{+\infty}|f(x)|dx收斂 \Rightarrow \int_a^{+\infty}f^2(x)dx 收斂 \]\[\int_a^{+\infty}|f(x)|dx收斂 \\ \lim_{x \to +\infty}f(x)=0 \Rightarrow \forall x>M,|f(x)|<1 \Rightarrow f^2(x)=|f(x)| \cdot |f(x)|<|f(x)| \Rightarrow \int_{A_1}^{A_2}f^2(x)<\int_{A_1}^{A_2}|f(x)|dx<\epsilon \\ 所以\int_a^{+\infty}f^2(x)dx收斂 \]

8

\[\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,s.t.\forall |x-y|<\delta,|f(x)-f(y)|<\epsilon \\ A \to +\infty:|f(A)|<\left| \int_A^{A+1}f(x)dx \right|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}f(x)=0 \]

9

\[\lim_{x \to 0^+}\left[xf(x)\right]=\lim_{x \to 0^+} \left|\int_{x}^{2x} f(t)dt \right|=0 \]