Floyd演算法學習筆記(未完結)

前言

如有錯誤，歡迎各位 dalao 批評指出。

前置芝士:

1.鄰接矩陣（Floyd要用鄰接矩陣存圖）

2.動態規劃思想（最好學過，沒學過也沒有太大影響）

1. Floyd 所解決問題的型別

我們可以發現，如 Dijkstra,SPFA,Bellman Ford 一類的最短路演算法都是解決單源點最短路問題，也就是確定了起點或者終點來求最短路的問題。但是，我們發現，這些演算法解決多源點最短路問題，也就是有多個起點和終點的最短路問題 ，的效率太低。假設有 \(n\) 個點，\(m\) 條邊。解決多源最短路時，如果用以上三種演算法來解決，都需要分別做 \(n\)

2. Floyd 的思想和基本做法

Floyd演算法的基本思想是動態規劃。

設 \(dp_{ij}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的最短距離。（有 \(n\) 個點）

首先對於這個 \(dp\) 陣列的初始化就是將輸入的邊 \(x-y\) 權值為 \(z\) （無權圖就是 \(1\)

接著我們進行狀態轉移。顯然，我們要轉移 \(dp_{ij}\)，就需要找一個點 \(k\)，來進行轉移，也就是 \(dp_{ij}\gets min(dp_{ij},dp_{ik}+dp_{kj})\)，其中 \(dp_{ik}+dp_{kj}\) 就表示 \(i-k\) 的最短路與 \(j-k\) 的最短路之和，其實也就相當於一個鬆弛操作。

這裡特別要注意的是：我們的 \(k\) 那一層迴圈一定要放在 \(i\)

Floyd演算法由於 \(i,j,k\) 都要列舉一層迴圈，所以時間複雜度為 \(O(n^3)\)，比開頭講的三個演算法要快。