AcWing 91 最短Hamilton路徑

題目描述

給定一張 n個點的帶權無向圖，
點從 0∼n−1 標號，求起點 0 到終點 n−1 的最短 Hamilton 路徑。

Hamilton 路徑的定義是從 0 到 n−1 不重不漏地經過每個點恰好一次。

輸入格式

第一行輸入整數 n
接下來 n 行每行 n 個整數，
其中第 i 行第 j 個整數表示點 i 到 j 的距離（記為 a[i,j]）。

對於任意的 x,y,z，
資料保證 a[x,x]=0
a[x,y]=a[y,x]
並且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]

輸出格式

輸出一個整數，表示最短 Hamilton 路徑的長度。

資料範圍

1≤n≤20

0≤a[i,j]≤107

輸入樣例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

輸出樣例：

18

解題思路

根據題意，每圖中每一個點都需要經過一次
所以可以用一種暴力的方法——數的全排列
數的全排列方法時間複雜度 \(O(n\times n!)\)
很顯然，是不行的
而看下面幾個全排列
\(1 2 3 4 ...\)
\(1 3 2 4 ...\)
可以發現這兩個全排列都經過了1234這四個數
並且最後都在4上
所以這裡可以進行剪枝判斷
使用一個狀態壓縮陣列
\(f[i][j]\)
其中i是一個二進位制數
表示圖的狀態
經過的為1，未經過的為0
j表示最後的點落在哪裡
還需列舉j是從哪個點過來的
狀態轉移方程為：
$ f[i][j]=min(f[i][j], f[i\wedge 1<<j][k]+w[k][j]) $
其中注意位運算比邏輯異或運算優先順序高

解題程式碼

#include <iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;
const int N = 21;
int n,w[N][N],f[1<<N][N];
int main() {
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin >> w[i][j];
    memset(f, 0x3F, sizeof(f)); // 初始陣列全為無窮大
    f[1][0]=0; // 初始從起點開始為0
    for(int i=1;i<1<<n;i++) // 列舉狀態
        for(int j=0;j<n;j++) if(i>>j&1) // j必須走過 
            for(int k=0;k<n;k++) if((i^1<<j)>>k&1) // j不等於k並k走過 
                f[i][j]=min(f[i][j], f[i^1<<j][k]+w[k][j]); // 狀態轉移方程
    cout << f[(1<<n)-1][n-1];
}