前言

初中知識儲備：同弧所對的圓周角相等。

案例分析

【已知對角和對邊型的求解】已知 \(a\)， \(b\)， \(c\) 分別為 \(\triangle ABC\) 的內角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的對邊， \(a=2\)， 且 \((2+b)\)\(\cdot\)\((\sin A-\sin B)\)\(=\)\((c-b)\)\(\cdot\)\(\sin C\)， 則 \(\triangle ABC\) 面積的最大值為________.

解析：根據正弦定理可得 \((2+b)(a-b)=(c-b)c\)，

因為 \(a=2\)， 代入得 \(a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc\)

根據餘弦定理得 \(\cos A=\cfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\cfrac{1}{2}\)，

因為 \(0<A<\pi\)， 所以 \(A=\cfrac{\pi}{3}\)，這樣便得到該三角形一條邊 \(a\) 及其對角 \(A\) 的條件.

畫出該三角形， 如圖，可以發現這是一個頂角為 \(\cfrac{\pi}{3}\)， 底邊長為 \(2\) 的三角形，

由正弦定理 \(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{2}{\sin\cfrac{\pi}{3}}=\cfrac{4 \sqrt{3}}{3}=2R\)

從運動變化的角度來看， 頂點 \(A\) 在半徑為 \(R=\cfrac{2 \sqrt{3}}{3}\) 的圓上運動， 當且僅當點 \(A\) 運動到 \(BC\) 的中垂線與 \(\odot O\) 的優弧的交點 \(D\) 處， \(\triangle ABC\) 的面積取得最大值 \(\sqrt{3}\)， 此時 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形，故 \(\triangle ABC\) 面積的最大值為 \(\sqrt{3}\) .

〔解後反思〕：1、本題從條件來看， 給出了一個角 \(A=\cfrac{\pi}{3}\) 及其對邊 \(a=2\)， 這其實就是確定了頂點 \(A\)

2、使用本方法，從形的角度思考，能求解面積的取值範圍嗎？回答是肯定的，當頂點 \(A\) 到達點 \(D\) 時，面積達到最大，根據圖形的對稱性，我們很容易理解，當頂點 \(A\) 從點 \(D\) 往點 \(B\) 或點 \(C\) 運動時，面積必然會逐漸減小，到達點 \(B\) 或點 \(C\) 時，面積為\(0\)，故面積的取值範圍為 \(\left(0,\sqrt{3}\;\right]\)；

從數的角度驗證如下：

由於題目已知\(A=\cfrac{\pi}{3}，a=2\)，則\(B+C=\cfrac{2\pi}{3}\)，故\(B，C\in (0，\cfrac{2\pi}{3})\)，且\(C=\cfrac{2\pi}{3}-B\)，

則由正弦定理得\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC} =\cfrac{a}{sinA} =\cfrac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\)，

則\(b=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}sinB\)，\(c=\cfrac{4\sqrt{3}}{3}sinC\)，

則\(bc=(\cfrac{4\sqrt{3}}{3})^2\cdot sinB\cdot sinC=\cfrac{16}{3}sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\) ^[1]

\(=\cfrac{16}{3}sinB\cdot (\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB+\cfrac{1}{2}sinB)\) \(=\cdots\)

\(=\cfrac{8}{3}sin(2B-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{4}{3}\)

由於 \(B\in (0，\cfrac{2\pi}{3})\) ，故\(-\cfrac{\pi}{6}<2B-\cfrac{\pi}{6}<\cfrac{7\pi}{6}\)，

即\(-\cfrac{1}{2}<sin(2B-\cfrac{\pi}{6})\leqslant1\)，即\(0<bc\leqslant 4\)，

又由於\(S_{\triangle}=\cfrac{1}{2}bc\cdot sinA=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot bc\)，

則 \(0<\cfrac{1}{2}bc\cdot sinA\leqslant \sqrt{3}\)，即 \(0<S_{\triangle}\leqslant \sqrt{3}\) .

探究應用

【2020高考模擬訓練用題】已知銳角\(\triangle ABC\)的內角\(A\)、\(B\)、\(C\)的對邊分別為\(a\),\(b\)，\(c\)，且\(\vec{m}=(a,b+c)\)，\(\vec{n}=(1,\cos C+\sqrt{3}\sin C)\)，\(\vec{m}//\vec{n}\).

(1).求角\(A\).

分析：由已知\(\vec{m}//\vec{n}\)，可得到\(a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0\)，

由正弦定理邊化角可得，\(\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin A\sin C-\sin B-\sin C=0\)，

由於\(B=\pi-A-C\)，則有\(\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin A\sin C-\sin(A+C)-\sin C=0\)，

整理得到，\(\sqrt{3}\sin A\sin C-\cos A\sin C-\sin C=0\)，

由於\(\sin C\neq 0\)，則得到\(\sqrt{3}\sin A-\cos A-1=0\)，

由輔助角公式可得，\(2\sin(A-\cfrac{\pi}{6})=1\)，

即\(\sin(A-\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{1}{2}\)，

由\(0<A<\cfrac{\pi}{2}\)，則\(-\cfrac{\pi}{6}<A-\cfrac{\pi}{6}<\cfrac{\pi}{3}\)，

則\(A-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{6}\)，故\(A=\cfrac{\pi}{3}\).

(2).若\(a=3\)，求\(\triangle ABC\)面積的取值範圍。

法1：使用均值不等式求解；此時已知 \(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(a=3\)，

由余弦定理可知，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)，即\(=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc\)；

即 \((b+c)^2=9+3bc\geqslant (2\sqrt{bc})^2=4bc\)，即 \(bc\leqslant 9\) ；

即\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bc\cdot\sin A=\cfrac{\sqrt{3}}{4}bc\)，

故 \(\cfrac{\sqrt{3}}{4}bc\leqslant \cfrac{9\sqrt{3}}{4}\)； 故 \([S_{\triangle ABC}]_{\max}=\cfrac{9\sqrt{3}}{4}\)；

本解法的缺陷：不能求解面積的最小值。

法2： 由\(\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\),

則得\(b=2\sqrt{3}\sin B\)， \(c=2\sqrt{3}\sin C\)，\(C=\cfrac{2\pi}{3}-B\)，

所以\(bc=12\sin B\sin C=12\sin B\sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)=12\sin B\sin(\cfrac{\pi}{3}+B)\)

\(=12\sin B(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos B+\cfrac{1}{2}\cdot\sin B)=6\sqrt{3}\sin B\cos B+6\sin^2B\)

\(=3\sqrt{3}\sin2B+3(1-\cos2B)=3\sqrt{3}\sin2B-3\cos2B+3\)

\(=6(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin2B-\cfrac{1}{2}\cos2B)+3=6\sin(2B-\cfrac{\pi}{6})+3\)

由於\(\triangle ABC\)為銳角三角形，所以\(\left\{\begin{array}{l}0<B<\cfrac{\pi}{2}\\ 0<\cfrac{2 \pi}{3}-B<\cfrac{\pi}{2}\end{array}\right.\), 解得\(\cfrac{\pi}{6}<B<\cfrac{\pi}{2}\)

所以\(\cfrac{\pi}{6}<2B-\cfrac{\pi}{6}<\cfrac{5\pi}{6}\)，\(\cfrac{1}{2}<\sin(2B-\cfrac{\pi}{6})\leqslant 1\)，

故\(6<6\sin(2B-\cfrac{\pi}{6})+3\leqslant 9\)，即\(6<bc\leqslant9\)

又由於\(S_{\triangle_{ABC}}=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{\sqrt{3}}{4}bc\)

故\(\cfrac{3\sqrt{3}}{2}<\cfrac{\sqrt{3}}{4}bc\leqslant \cfrac{9\sqrt{3}}{4}\)

所以， \(\triangle ABC\)面積的取值範圍為\((\cfrac{3\sqrt{3}}{2}, \cfrac{9\sqrt{3}}{4}]\).

法3：使用動態的觀點求解；

如圖所示，做出銳角\(\triangle ABC\)，則頂點 \(A\) 首先應該在優弧 \(\overset{\frown}{BC}\)上運動，不能在劣弧 \(\overset{\frown}{BC}\) 上運動，為了保證三角形為銳角三角形，我們還必須新增其他限制條件，簡單點想，首先考慮其中的一個臨界位置，比如考慮面積的最大值，則頂點 \(A\) 應該在點 \(D\) 處，此時

【非對角對邊型的】

本文來自部落格園，作者：靜雅齋數學，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/15593798.html